Аннуитеты (облигации без погашения)

Если номинал облигации не погашается, мы имеем дело с аннуитетом или рентой (см. раз. 2). В роли аннуитета может выступать любая долговая бумага, по которой производятся постоянные периодические выплаты. В узком смысле слова аннуитет — это бумага, по которой выплаты будут производиться бесконечно.

В качестве аннуитетов можно рассматривать привилегированные акции, а также облигации без определенного срока выкупа. Примером такого бессрочного аннуитета являются британские консоли (consoles), являющиеся результатом объединения нескольких займов, сделанных государством в разное время, начиная с 18-го века. Купонный доход консолей колеблется от 2,5% до 5%, в то время как доходность их составляет около 7%. Так как цена консолей ниже номинала (см. пример 10), то государству выкупать их невыгодно. Поэтому при оценке данные облигации рассматривают как вечную ренту.

Рассмотрим случай, когда выплаты происходят один раз в году на протяжении большого срока. Можно воспользоваться соотношением (16), приняв в нем за выплаты РМТ годовой купонный доход С, за современную стоимость PV рыночную цену облигации Р. Так как выплаты происходят бесконечно долго, можно положить . Таким образом, доходность и цена аннуитета связаны соотношениями:

, (26)

Итак, полная доходность для бесконечного аннуитета равна текущей доходности.

Аналогично можно записать соотношения, связывающие курс и доходность облигации, приносящей доход в течение бесконечно долгого времени:

, . (27)

Соотношения (26), (27) позволяют оценивать доходность и цену привилегированных акций, а также облигаций, для которых не определен срок выкупа, и их можно рассматривать как бесконечную ренту.

Если выплаты производятся т раз в год, то удобнее пользоваться номинальной процентной ставкой j (при начислении процентов т раз в году). Цена и доходность такого аннуитета связаны соотношениями:

, (28)

Пример 14. Британские консоли имеют купон 2,5% от номинала, доходность 6,71%. Найти текущий курс облигации, предположив, что облигация не будет выкуплена правительством Великобритании.

Решение:

Пример 15. Найти доходность британских консолей с 5% купоном, если курс равен 68,12.

Решение:

Пример 16. Привилегированная акция приносит ежеквартальный доход 750 руб., рыночная цена акции 17850 руб. Найти доходность акции, считая, что дивиденды по ней не будут меняться, и будут выплачиваться достаточно долго.

Решение: Из (28) находим номинальную ставку доходности при условии ежеквартального начисления процентов:

или

Эффективную ставку доходности можно найти, использовав соотношение (11):

или

Облигации с фиксированным купоном

Доход складывается из периодических купонных выплат и выплаты номинальной стоимости в конце срока. Доходы по купонам выплачиваются, как правило, один или два раза в год.

Таким образом, современная стоимость облигации с фиксированным купоном складывается из современной стоимости аннуитета и современной стоимости номинала. Если выплаты купонов происходят ежегодно (один раз в год), то рыночная цена облигации равна:

, (29)

где С — годовой купонный доход (в рублях), N — номинал облигации (в рублях), п — срок облигации (в годах), i — доходность к погашению или ставка дисконтирования.

Соотношения (29) связывают стоимость облигации или курс с доходностью к погашению. Если известна доходность i, то стоимость (или курс) можно определить с помощью соотношения (29). Обратная задача — определение доходности по курсу — в общем виде аналитически неразрешима. Поэтому доходность к погашению облигаций с фиксированным купоном находят с помощью численного решения уравнения (29).

Укажем на следующие особенности облигаций с постоянным купоном. Если облигация приобретена по номиналу (по курсу 100), то доходность к погашению i равна ставке купонного дохода д. Если облигация приобретена с дисконтом (по курсу меньше 100), то доходность больше купонного дохода (I > g). Если же облигация приобретена с премией (К > 100), доходность меньше купонного дохода (i < g). В последнем случае (при покупке с премией) владелец облигации также может получить доход, если не произойдет досрочного выкупа облигации эмитентом.

Если купонные выплаты происходят два раза в год то для финансовых расчетов используется номинальная процентная ставка доходности у при условии начисления процентов 2 раз в год. При этом каждый раз выплачивается половина купона, т.е. величина . Для определения текущей стоимости облигации следует продисконтировать все купонные выплаты и выплату в погашение номинала. Можно воспользоваться результатом (18) и получить выражение:

(30)

При расчетах часто используют простую процентную ставку доходности для облигаций с фиксированным купоном. Напомним, что при начислении дохода по простой процентной ставке, доход каждый раз начисляется на первоначальную сумму, т.е. Предполагается, что промежуточные доходы по. процентам не реинвестируются (можно считать, что все купонные доходы получены в конце срока). Поэтому можно записать:

(31)

откуда можно получить

(32)

В числителе (32) — доход, полученный владельцем за весь период владения облигацией. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.

Простая доходность в некоторых случаях может существенно отличаться от сложной процентной ставкиi.

Полная доходность i совпадает с простой , если облигация куплена по номиналу {К=100). В этом случае . Также , если срок облигации равен одному году (n=1). Если срок облигации равен нескольким годам, то пользуются также другой приближенной формулой:

(33)

Соотношение (33) отличается от (32) тем, что в (32) в знаменателе фигурирует не цена облигации, а средняя арифметическая между начальной ценой облигации Р и конечной ценой N.

Пример 17. Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме 12% от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования равна 16%.

Решение.

Пример 18. Годовой купонный доход облигации равен 240 руб., купонный доход выплачивается 2 раза в год, номинал облигации равен 1300 руб., срок до погашения 6 лет. Найти цену облигации, если доходность к погашению (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 2 раза в год) равна 14,47 %.

Решение: Согласно (30) цена облигации равна:

Пример 19. Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала и выплачиваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации — 10 лет. Найти простую доходность и доходность по приближенной формуле (33).

Решение:

или

или

Численное решение уравнения (29) приводит к следующему значению для доходности по сложной ставке: i=22_:6%. В данном случае лучшим приближением для i является доходность , рассчитанная по приближенной формуле (33).