Дифференциальные уравнения нестационарного движения жидкости в трубопроводе. Система таких уравнений имеет вид [5]:

(4.8)

где . Это система двух дифференциальных уравнений с частными производными, используемых для расчета двух неизвестных функций и .

Метод характеристик. Расчет нестационарных режимов работы нефте- или нефтепродуктопровода более сложен, чем расчет стационарных режимов. Не существует простых алгебраических формул для вычисления параметров потока в нестационарных режимах хотя бы потому, что таких режимов существует бесчисленное множество. Поэтому расчеты нестационарных режимов работы нефтепровода, например, поименованных в начале этого параграфа, осуществляют численно с использованием компьютеров. Приведем один из эффективных алгоритмов расчета, называемый методом характеристик, послуживший основой для той компьютерной программы, которая представлена в настоящем Практикуме.

Умножим второе уравнение системы уравнений (4.8) на и сложим результат с первым уравнением. Получим:

.

Аналогичным образом после вычитания второго уравнения системы (4.8), умноженного на , из первого, получим

.

Если на плоскости переменных рассмотреть прямые линии, которые определяются уравнениями

и которые называются характеристиками системы дифференциальных уравнений (4.8), можно заметить, что для любого параметра :

Это означает, что выражение, стоящее слева, есть производная от функции по направлению первой характеристики (или, как говорят, производная вдоль характеристики ). Аналогично

,

то есть выражение, стоящее слева, является производной от функции по направлению второй характеристики (или вдоль направления ).

Используя понятие производной по направлению, полученные уравнения можно записать в следующем виде:

или

(4.9)

Система (4.9) называется характеристической формой системы (4.8).

Если , то правые части уравнений в (4.9) равны нулю. Это означает, что вдоль характеристики положительного наклона () сохраняется величина , а вдоль характеристики отрицательного наклона () сохраняется величина . Величины и называются инвариантами Римана. Итак, при , т.е. при отсутствии силы трения и скатывающей составляющей силы тяжести, вдоль характеристик положительного наклона сохраняется первый инвариант Римана, а вдоль характеристики отрицательного наклона – второй инвариант Римана.

При величины и не сохраняются на соответствующих характеристиках. Однако формулы (4.9) могут служить для расчета различных нестационарных режимов работы нефтепровода, особенно если использовать численные методы.

Пусть, например, в какой-либо момент времени (в частности, ) в трубопроводе известно распределение давлений и скоростей течения. Т.е. известны функции и . Разработаем метод для расчета значений этих функций в следующий момент времени , отстоящий от данного на величину . Рассмотрим на плоскости переменных прямоугольную сетку с шагом по координате и по времени (рис.19).

Рис.19. Расчетная схема метода характеристик

Через узлы получившейся сетки проведем характеристики и положительного и отрицательного наклонов, соответственно. Непрерывное распределение искомых функций и заменим дискретными значениями и сеточных функций в узлах построенной сетки. Предположим, что все значения и известны в каком-нибудь временном слое и требуется найти значения сеточной функции при , т.е. и . Покажем, как это сделать на примере произвольной точки .

Заменим производные по направлению в уравнениях (4.9) конечными разностями вдоль характеристик и . Получим:

где

,

.

Отсюда получаем систему уравнений для определения давления и скорости жидкости в точке через известные величины этих параметров в точках и :

или

где и – значения функции , вычисленные по параметрам точек и , соответственно. Из последней системы вычисляем значения давлений и скоростей потока нефти в трубопроводе в момент времени через значения этих же параметров в момент времени :

(4.10)

Таким образом, рекуррентные формулы (4.10) в принципе решают поставленную задачу о расчете нестационарных процессов в трубопроводе, поскольку позволяют рассчитать значения давлений и скоростей течения в последующий момент времени по известным значениям этих параметров в предыдущий момент времени. За первый «предыдущий» момент времени можно взять начальное состояние потока (т.е. значения давлений и скоростей течения в момент времени, принимаемый за начальный ). Тогда, вычисляя по формулам (4.10) шаг за шагом значения этих величин в последующие моменты времени, можно рассчитать параметры потока в произвольный момент времени и затем найти все интересующие нас технологические параметры нестационарного режима.

Начальные и краевые условия. Пусть исследуется нестационарный режим работы участка трубопровода с протяженностью () начиная с некоторого момента , принимаемого за начальный. Тогда для того, чтобы узнать, как будет развиваться нестационарный процесс в трубопроводе, необходимо иметь информацию о двух принципиально важных моментах:

0. каким было исходное состояние участка трубопровода,

1. что происходит на краях участка (т.е. в сечениях и ).

Первая информация определяется так называемым начальным условием, а вторая – краевыми.

Заметим, что формулы (4.10) позволяют определить значения и в произвольной точке полосы , , определяющей участок трубопровода за исключением его начального () и конечного () сечений. Кроме того, для расчета необходимы значения давления и скорости в начальный момент времени .

Состояние участка трубопровода в начальный момент времени может быть произвольным, но очень часто в качестве начального состояния берется стационарный режим перекачки, в котором известны распределения напора и расхода.

Пусть, например, в стационарном режиме перекачки известен расход нефти и распределение напора , где – напор в начале рассматриваемого участка, а – гидравлический уклон. , где – напор в конце участка. Тогда начальные условия для расчета нестационарного режима можно взять следующими:

= const,

или

; , (4.11)

где ; ; ; ( число частей, на которое разбивают участок трубопровода: ); .

Для нахождения значений и в концевых сечениях необходимо использовать краевые условия или, как их еще называют, граничные условия. Обратимся к рис.19, 20 и 21.

В левое сечение () приходит только одна характеристика отрицательного наклона, поэтому для однозначного определения параметров и в точках левой границы необходимо иметь еще одну связь (алгебраическую или дифференциальную) между этими параметрами. В простейшем, но практически важном случае, такой связью может быть характеристика перекачивающей станции, которая может быть представлена связью давления в линии нагнетания и скорости перекачки: нефтеперекачивающей станции, после того как на ней произошло то или иное изменение. Например, первоначально станция работала с одним набором нефтеперекачивающих агрегатов. Этому режиму соответствовало начальное состояние (4.11). А, начиная с момента времени , станция перешла к работе в другом режиме, с иным набором нефтеперекачивающих агрегатов. Ему стала соответствовать другая характеристика, а именно . Или станция остановилась вовсе. Тогда для всех допустимо принять , и т.д. Рис.20 поясняет систему алгебраических уравнений, которая служит для моделирования левого краевого условия:

(4.12)

Рис.20. Краевое условие в начале участка трубопровода

Система уравнений (4.12) служит для расчета значений давления и скорости жидкости в начальном сечении участка трубопровода; здесь давление в линии всасывания.

В правое сечение () участка трубопровода приходит также только одна характеристика, но уже положительного наклона. Поэтому для однозначного определения параметров и в точках правой границы участка необходимо иметь еще одну связь (алгебраическую или дифференциальную) между этими параметрами. В частности, такая связь может быть представлена зависимостью давления от скорости (расхода) в конце участка. В более простом случае в конце участка можно задать давление или скорость (расход) течения. Рис.21 поясняет систему алгебраических уравнений, которая служит для моделирования правого краевого условия:

(4.13)

Рис.21. Краевое условие в конце участка трубопровода