Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kr uravn

.docx
Скачиваний:
9
Добавлен:
07.12.2015
Размер:
5.51 Mб
Скачать

Уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:

Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому направляющий вектор прямой 

можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости P1: 3x+5y-z−7=0 нормальный вектор имеет координаты N1(3,5,-1);

для плоскости P2: x-3y+4z−16=0, нормальный вектор имеет координаты N2(1,-3,4).

Находим векторное произведение:

Таким образом, направляющий вектор прямой ; имеет координаты S¯(17,-13,-14).

Пусть z=1, тогда

Уравнение прямой пересечения плоскостей

Теперь необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через точки M, M0, M1.

 Ответ: 18x+30y-7z-41=0

Найти значения переменных x1...x2, при которых функция:

Q =

2

x1

+

5

x2

принимает минимальное значение, при условии следующих ограничений :

2

x1

+

x2

8

   (1)

x1

+

2

x2

15

   (2)

2

x1

+

x2

10

   (3)

x1, x2 ≥ 0

Шаг:1 Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 2, 3 неотрицательные балансовые переменные s1, s2, s3.

2

x1

+

x2

-

s1

=

8

   (1)

x1

+

2

x2

+

s2

=

15

   (2)

2

x1

+

x2

+

s3

=

10

   (3)

x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 Шаг:2 Ищем в системе ограничений базисные переменные. Из последней системы ограничений можно выделить базисные переменные s2,s3. Не все уравнения содержат базисные переменные, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу. Такое решение еще называют решением с искусственным базисом. Введем в уравнение 1 искусственную неотрицательную переменную r1 . Получим следующую систему ограничений,

2

x1

+

x2

-

s1

+

r1

=

8

   (1)

x1

+

2

x2

+

s2

=

15

   (2)

2

x1

+

x2

+

s3

=

10

   (3)

x1, x2, s1, s2, s3, r1 ≥ 0 с базисными переменными r1,s2,s3.

Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения не содержащего искусственных переменных (r1). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию :

G =

r1

и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет. Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого:   - вычтем из функции G уравнение 1 Функция G примет вид :

G =

-

2

x1

-

x2

+

s1

+

8

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу. Шаг:3 Начальная симплекс-таблица

БП

x1

x2

s1

s2

s3

r1

Решение

Отношение

r1

2

1

-1

0

0

1

8

8

/

2

=

4

s2

1

2

0

1

0

0

15

15

/

1

=

15

s3

2

1

0

0

1

0

10

10

/

2

=

5

Q

2

5

0

0

0

0

0

--

G

-2

-1

1

0

0

0

-8

--

Итерация 0-a

БП

x1

x2

s1

s2

s3

Решение

Отношение

x1

1

1

2

-1

2

0

0

4

--

s2

0

3

2

1

2

1

0

11

--

s3

0

0

1

0

1

2

--

Q

0

4

1

0

0

-8

--

G

0

0

0

0

0

0

--

Получено оптимальное решение вспомогательной задачи (найден минимум функции G т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов). Все искусственные переменные вышли из базиса и поэтому мы можем приступить к решению исходной задачи, приняв полученное базисное решение в качестве опорного. Сторка "G" нам больше не нужна, принятие решения о направляющем столбце, во всех последующих итерациях, будем принимать по строке "Q" Итерация 1

БП

x1

x2

s1

s2

s3

Решение

Отношение

x1

1

1

2

-1

2

0

0

4

--

s2

0

3

2

1

2

1

0

11

--

s3

0

0

1

0

1

2

--

Q

0

4

1

0

0

-8

--

Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Ответ:

Оптимальное значение функции Q(x)=

8

достигается в точке с координатами:

x1=

4

x2=

0

s1=

0

s2=

11

s3=

2

Решение задачи ЛП онлайн симплекс-методом

Целевая функция: -3X1-2X2+1X3→min Условия: -3X1+1X2+2X3≤3 1X1+2X2+3X3≤14 2X1+1X2+3X3≤16

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:

-3X1+1X2+2X3+X4=3 1X1+2X2+3X3+X5=14 2X1+1X2+3X3+X6=16 Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции. Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.

X1

X2

X3

Своб член

F

-3

-2

1

0

X4

-3

1

2

3

X5

1

2

3

14

X6

2

1

3

16

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение.В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -3 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X6, а ведущий элемент: 2.

X6

X2

X3

Своб член

F

1.5

-0.5

5.5

24

X4

1.5

2.5

6.5

27

X5

-0.5

1.5

1.5

6

X1

0.5

0.5

1.5

8

В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -0.5 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X5, а ведущий элемент: 1.5.

X6

X5

X3

Своб член

F

1.333

0.333

6

26

X4

2.333

-1.667

4

17

X2

-0.333

0.667

1

4

X1

0.667

-0.333

1

6

Так как в строке F нет отрицательных элементов, то найдено оптимальное решение. Так как исходной задачей был поиск минимума, оптимальное решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. Найдено оптимальное решение F=-26 при значениях переменных равных: X2=4, X1=6,