kr uravn
.docx
Уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:
Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому направляющий вектор прямой
можно
найти как векторное произведение
нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости P1: 3x+5y-z−7=0 нормальный вектор имеет координаты N1(3,5,-1);
для плоскости P2: x-3y+4z−16=0, нормальный вектор имеет координаты N2(1,-3,4).
Находим векторное произведение:
Таким
образом, направляющий вектор прямой 
;
имеет координаты S¯(17,-13,-14).
Пусть z=1, тогда
Уравнение
прямой пересечения плоскостей
Теперь необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через точки M, M0, M1.
Ответ: 18x+30y-7z-41=0
Найти значения переменных x1...x2, при которых функция:
|
Q = |
|
2 |
x1 |
+ |
5 |
x2 |
принимает минимальное значение, при условии следующих ограничений :
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
≥ |
|
8 |
|
(1) |
|
|
|
x1 |
+ |
2 |
x2 |
≤ |
|
15 |
|
(2) |
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
≤ |
|
10 |
|
(3) |
x1, x2 ≥ 0
Шаг:1 Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 2, 3 неотрицательные балансовые переменные s1, s2, s3.
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
- |
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
8 |
|
(1) |
|
|
|
x1 |
+ |
2 |
x2 |
|
|
|
+ |
|
s2 |
|
|
|
= |
|
15 |
|
(2) |
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
s3 |
= |
|
10 |
|
(3) |
x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 Шаг:2 Ищем в системе ограничений базисные переменные. Из последней системы ограничений можно выделить базисные переменные s2,s3. Не все уравнения содержат базисные переменные, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу. Такое решение еще называют решением с искусственным базисом. Введем в уравнение 1 искусственную неотрицательную переменную r1 . Получим следующую систему ограничений,
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
- |
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
r1 |
= |
|
8 |
|
(1) |
|
|
|
x1 |
+ |
2 |
x2 |
|
|
|
+ |
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
15 |
|
(2) |
|
|
2 |
x1 |
+ |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
s3 |
|
|
|
= |
|
10 |
|
(3) |
x1, x2, s1, s2, s3, r1 ≥ 0 с базисными переменными r1,s2,s3.
|
|
Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения не содержащего искусственных переменных (r1). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию :
|
G = |
|
r1 |
и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет. Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого: - вычтем из функции G уравнение 1 Функция G примет вид :
|
G = |
- |
2 |
x1 |
- |
x2 |
+ |
s1 |
+ |
8 |
|
Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу. Шаг:3 Начальная симплекс-таблица
|
БП |
x1 |
x2 |
s1 |
s2 |
s3 |
r1 |
Решение |
Отношение |
|||||
|
r1 |
2 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
|
|||||
|
s2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
15 |
|
|||||
|
s3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
10 |
|
|||||
|
Q |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-- |
|||||
|
G |
-2 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-8 |
-- |
Итерация 0-a
|
БП |
x1 |
x2 |
s1 |
s2 |
s3 |
Решение |
Отношение |
||||||
|
x1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
4 |
-- |
||||||
|
s2 |
0 |
|
|
1 |
0 |
11 |
-- |
||||||
|
s3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
-- |
||||||
|
Q |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
-8 |
-- |
||||||
|
G |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-- |
Получено оптимальное решение вспомогательной задачи (найден минимум функции G т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов). Все искусственные переменные вышли из базиса и поэтому мы можем приступить к решению исходной задачи, приняв полученное базисное решение в качестве опорного. Сторка "G" нам больше не нужна, принятие решения о направляющем столбце, во всех последующих итерациях, будем принимать по строке "Q" Итерация 1
|
БП |
x1 |
x2 |
s1 |
s2 |
s3 |
Решение |
Отношение |
||||||
|
x1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
4 |
-- |
||||||
|
s2 |
0 |
|
|
1 |
0 |
11 |
-- |
||||||
|
s3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
-- |
||||||
|
Q |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
-8 |
-- |
Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Ответ:
|
Оптимальное значение функции Q(x)= |
8 |
достигается в точке с координатами:
|
x1= |
4 |
|
x2= |
0 |
|
s1= |
0 |
|
s2= |
11 |
|
s3= |
2 |
Решение задачи ЛП онлайн симплекс-методом
Целевая функция: -3X1-2X2+1X3→min Условия: -3X1+1X2+2X3≤3 1X1+2X2+3X3≤14 2X1+1X2+3X3≤16
Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:
-3X1+1X2+2X3+X4=3 1X1+2X2+3X3+X5=14 2X1+1X2+3X3+X6=16 Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции. Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
Своб член |
|
F |
-3 |
-2 |
1 |
0 |
|
X4 |
-3 |
1 |
2 |
3 |
|
X5 |
1 |
2 |
3 |
14 |
|
X6 |
2 |
1 |
3 |
16 |
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение.В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -3 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X6, а ведущий элемент: 2.
|
|
X6 |
X2 |
X3 |
Своб член |
|
F |
1.5 |
-0.5 |
5.5 |
24 |
|
X4 |
1.5 |
2.5 |
6.5 |
27 |
|
X5 |
-0.5 |
1.5 |
1.5 |
6 |
|
X1 |
0.5 |
0.5 |
1.5 |
8 |
В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -0.5 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X5, а ведущий элемент: 1.5.
|
|
X6 |
X5 |
X3 |
Своб член |
|
F |
1.333 |
0.333 |
6 |
26 |
|
X4 |
2.333 |
-1.667 |
4 |
17 |
|
X2 |
-0.333 |
0.667 |
1 |
4 |
|
X1 |
0.667 |
-0.333 |
1 |
6 |
|
|
Так как в строке F нет отрицательных элементов, то найдено оптимальное решение. Так как исходной задачей был поиск минимума, оптимальное решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. Найдено оптимальное решение F=-26 при значениях переменных равных: X2=4, X1=6,