2.3. Произведение матриц.

Умножение матриц – это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как векторы- строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей : иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк и векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером и матрица В размером. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов – строкразмерности п каждый, а матрицу В – как совокупностьk векторов – столбцов, каждый из которых содержит по п координат.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строкматрицы А на векторы-столбцыматрицы В:

,

Для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор – строки матрицы А на все вектор – столбцы матрицы В и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц – сомножителей:, т. е. Размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел:.

В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. тогда если А и В – прямоугольные матрицы , то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером, то имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц ВА, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е..

Рассмотрим примеры на умножения матриц.

Пример 4.

РЕШЕНИЕ. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (1.2) получаем в произведении матрицу размером

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Свойства произведения матриц. Пусть А,В, и С – матрицы соответствующих размеров, а – действительное число. Тогда следующие свойства произведения матриц имеют место:

1. ,

2. ,

3. ,

4. 

2.4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера. Её можно рассматривать систему, состоящую измерных векторов. Поскольку любая система векторов характеризуется рангом, то естественно встает вопрос о такой же характеристике для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов – векторы- строки и векторы- столбцы, то у матрицы два ранга – строчечный и столбцовый. Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Стало быть, ранг любой матрицы размера можно искать как ранг одной из двух систем векторов. Для прямоугольной матрицы максимальный ранг. Для квадратной матрицы размеромее максимальный ранг не может превышать.