11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения

Имеем или

Общее решение уравнения (1) получим, проинтегрировав последнее равенство.

В общем виде уравнения с разделяющимися переменными представляются как

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Решение.

.

Из начального условия находим С = 1 и окончательно у=х

Пример 2. Найти все решения дифференциального уравнения .

Очевидно, что у=0 является решением данного уравнения.

Пусть теперь Тогда

Ответ: ;

Однородные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, еслигде- произвольное выражение.

Однородное уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если , разрешив его относительно производной, мы получим для нее выражение, являющееся функцией только отношения искомой функции к ее аргументу

Для решения данного уравнения делаем подстановку , откудаи. Тогда уравнение преобразуется к виду:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Решив его относительно и заменив затемнанайдем общее решение уравнения.

Пример 1 Решить уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Линейные дифференциальные уравнения.

Определение . Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительно искомой функции и ее производной.

(1)

Решение линейного уравнения (1) ищем в виде произведения двух функций u(x) и v(x) : y(x) = u(x)v(x) или y = uv.

Подставим y и в уравнение (1):

(

Найдем u из уравнения как частное решение.

Тогда из уравнения (2) найдем, т.к. оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение

Решение. Обозначим

Приравниваем коэффициент при к нулю:

Подставим в уравнение (*):

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:

1. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.

3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

4. Неполные уравнения первого порядка.

5. Линейные уравнения первого порядка.

6. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Линейное однородное уравнение.

8. Линейное неоднородное уравнение.

9. Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.

10. Составить дифференциальное уравнение симейств кривых

11. Составить дифференциальное уравнение симейств кривых

12. Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными

13. Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными

14. Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными

15. Решить уравнение используя замену переменных

16. Решить однородное уравнение

17. Решить однородное уравнение

18. Решить линейное уравнение первого порядка

19. Решить уравнение, используя понижение порядка

20. Решить линейное уравнение