10. 2.Несобственные интегралы.

Пусть f(x) непрерывна на [a; +). Тогда она непрерывна и на [a;b] и потому f(х)dх= F(b) – некоторая функция от предела b.

Опред. Если при b+ существует и равен конечному числу, то этот предел обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом и считают сходящимся. В противном случае символу f(х)dх ничего не приписывают, называют так же и считают расходящимся.

Аналогично дают определение символу f(х)dх . Если же имеется символ f(х)dх, то в нем сначала заменяют бесконечные пределы конечными параметрами, затем на отрезке между параметрами берут произвольную точку и вычисляют два предела : и . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то исходный символ называют несобственным с бесконечными пределами и расходящимся. Сходящимся он будет только, если оба слагаемые сходятся.

Зачастую работать с определением затруднительно. Тогда используют признаки сходимости.

Теорема. (признак сравнения) Если 0g(x) f(x) и для любого х из [a; +) интеграл f(х)dх сходится, то сходится и интеграл g(х)dх. Если же при указанных условиях интеграл g(х)dх расходится, то расходится и интеграл f(х)dх.

Доказательство. Вытекает из интегрирования неравенства.

Теорема. (предельный признак сравнения) Если =k не равному нулю и не равному , то интегралы g(х)dх и f(х)dх ведут себя одинаково в смысле сходимости. (без док.)

Определение. Если интеграл f(х)dх сходится, то сходится и интеграл f(х)dх и тогда последний называют абсолютно сходящимся.

Определение. Если интеграл f(х)dх расходится, а интеграл f(х)dх сходится, тогда последний называют условно сходящимся.

Пример. . Выясним его характер. Для чего сравним подынтегральную функцию по модулю с функцией . Имеем <. А потому исходный интеграл сходится абсолютно.

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и имеет разрыв 2-го рода (неограниченна) в точке b. Тогда f(x) интегрируема на [a;b₁] для b₁<b. В этом случае f(х)dх=Ф(b₁) – функция от b₁.

Определение. Если существует конечный , то его обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом от разрывной функции и считают сходящимся.

В противном случае указанному символу ничего не приписывают и называют расходящимся несобственным интегралом от разрывной функции.

Аналогичная ситуация для непрерывной f(x) на [a;b] за исключением некоторой С[a;b]. В этом случае рассматривают два несобственных интеграла от разрывной функции на двух интервалах [a;С] и [С;b]. Если хотя бы одно слагаемое – интеграл расходящийся, то исходный интеграл считают расходящимся. В противном случае интеграл считают сходящимся.

Из последних определений следует, что до вычисления f(х)dх следует проверить, будет ли символ несобственного интеграла или это определенный интеграл. И только после этого приниматься за вычисления(работу).

Если же установить характер сходимости по определению затруднительно используют признаки сравнения с интегралом J==. Иначе говоря, при p<1 интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:

1. Определенный интеграл.

2. Классы интегрируемых функций.

3. Основные свойства определенного интеграла.

4. Основная формула интегрального исчисления.

5. Основные правила интегрирования.

6. Геометрические приложения определенного интеграла.

7. Несобственные интегралы.

8. Найти определенный интеграл

9. Найти определенный интеграл

10. Найти определенный интеграл

11. Найти определенный интеграл

12. Найти определенный интеграл

13. Найти определенный интеграл

14. Найти определенный интеграл

15. Найти определенный интеграл

16. Найти определенный интеграл

17. Найти определенный интеграл

18. Найти площадь фигуры ограниченной линиями,,

19. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

20. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:(фигура расположена в первой четверти).