Тема 10. Определенный интеграл.

Дается понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов. Использование определенного интеграла в экономике.

Пусть на [a;b] задана f(x). Разобьем отрезок на n частей точками. На каждой части выберем точку Мк. Вычислим сумму и назовем ее интегральной. Таких сумм можно составить сколько угодно (изменяя способ разбиения и выбор токи Мк на каждом участке разбиения). Вычислим предел интегральной суммы приn и максимальном 0. Если указанный предел существует независимо от способа разбиения [a;b] на части и выбора на каждом участке разбиения, а только в зависимости отf(x) и длины отрезка [a;b], то такой предел назовем определенным интегралом и обозначим . В этом определении : - символ определенного интеграла; f(x) – подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; х (под знаком d) – аргумент интегрирования.

Теорема существования. Если f(x) ограничена на [a;b] и непрерывна на нем всюду кроме конечного числа точек разрыва 1-го рода, то определенный интеграл существует.

Основные свойства ОИ.

. Док. Следует из свойства предела.

. Достаточно в качестве одной из точек разбиения выбрать точку С.

. Т.к. константу можно выносить за знак предела.

. Трапеция вырождается в прямоугольник.

f(x)dx. Т.к. точки разбиения только поменяют порядок.

Формула Ньютона-Лейбница .

Методы нахождения определенного интеграла

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ ; ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от до значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф()=а , ф() = b, то для непрерывной на [a;b] функции f(x) справедливо равенство f(x)dx=f(ф(t))ф’(t)dt (7.3)

называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.

Док. В самом деле f(t)dt= F(b)-F(a) , где F(x) первообразная для f(x). Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на

[ ; ], то По Ньютону-Лейбницу имеем f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф()) - F(ф())= F(b)-F(a) =f(t)dt.

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.

Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на этом отрезке и получим (uv)’dx= u’vdx + v’udx. Но т.к. uv есть первообразная для (uv)’, то получаем v’udx = uv- u’vdx (7.3)

Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ