7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.

Рассмотрены основные понятия дифференциального исчисления функций одного и нескольких переменных и применение аппарата дифференциального исчисления к решению прикладных задач.

Определение. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, называют производной функции в данной точке.

Если функция задана y=f(x) (т.е. явно), то символически это записывают так =y’. Используют и другие обозначения : f’(x) ; y’(x) f’_x(x) ; y’_x(x) и др., о которых будет сказано далее.

7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.

1-й шаг. Возьми точку х и вычисли значение функции f(x) в этой точке.

2-й шаг. Возьми приращение аргумента , получи новую точку х+ и вычисли значение функции f(x+) в новой точке.

3-й шаг. Вычисли приращение функции = f(x+)- f(x), полученное функцией при переходе от точки х к точке x+.

4-й шаг. Найди отношение .

5-й шаг. Вычисли, если возможно, предел . Если этот предел существует, то его значение и есть искомая производнаяy’ в заданной точке х.

К понятию производной пришли при решении типовых задач физики и геометрии.

Задача о касательной к кривой. Пусть дана криваяy=f(x). Требуется вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в заданной точке.

В

y=f(x)

 С



А D

х х+х

Рис 12. Геометрическая интерпретация производной

Решение. Возьмем две точки на кривой y=f(x): А(х, f(x)) и В(x+,f(x+)).

Проведем через эти точки секущую АВ. Легко найти угловой коэффициент прямой АВ как отношение =tg . Если теперь устремить к нулю, то секущая будет поворачиваться и в пределе займет положение касательной АС, угловой коэффициент которой равен tg=

lim tg=lim.Все пределы вычислены при условии 0. Отсюда следует, что производную функции y=f(x) в данной точке можно истолковать геометрически как угловой коэффициент касательной, проведенной в данной точке к этой кривой.

Задача о скорости. Пусть известен (задан) закон движения s=S(t) (зависимость изменения пути от времени). Найти скорость движения в данный момент времени.

Решение. К моменту времени t пройден путь S(t). Тогда к моменту времени t+ будет пройден путь S(t+). Это значит, что за время пройден путь , равный S(t+)- S(t). Средняя скорость движения за промежуток времени можно вычислить по отношению . Чем меньше промежуток времени , выбранный для измерения средней скорости, тем точнее средняя скорость характеризует процесс движения. Естественно, что при 0 limдаст значение скорости движения в момент времениt – это значение принято называть мгновенной скоростью (или просто скоростью движения в данный момент времени). Поэтому производную S’(t) можно истолковать как скорость движения v(t).

Теорема. Если y=f(x) имеет производную в точке х, то функция непрерывна в данной точке.

Док. Воспользуемся связью предела и бмв : =y’+() . Из этого соотношения следует непрерывность, т.к. = y’+()0 при 0.

Обратное не всегда верно, т.к. предел можно вычислять как односторонний и получать одинаковые ответы. А в самой точке функция может не иметь значения и , значит быть разрывной.

Чтобы всякий раз не применять алгоритм вычисления производной выведем основные правила вычисления производной и составим таблицу производных основных элементарных функций