4.3. Уравнения первой степени в пространстве

Определение. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+a₄₁x+a₄₂y+a₄₃z+ a₄₄=0 (3)

Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.

Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.

Реализуем метод при построении поверхности ++=1.

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Тогда в сечении получим

+=1- ,

Из этой системы видно, что h не может превышать z=h. Что означает – поверхность расположена между двумя плоскостями – выше h=-c и ниже h=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскости z=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.

Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.

4.4. Уравнения первой степени в пространстве

Всякую плоскость в пространстве геометрически однозначно задать:

-точкой Мо(х_о;у_о ,z_о;) на плоскости и вектором (А;В;С) нормальным к ней;

-точкой Мо(х_о;у_о ,z_о;) и расстоянием d от начала координат до плоскости;

-тремя точками на плоскости;

-двумя точками на плоскости и вектором, параллельным ей и т.д.

Во всех случаях – это задачи 2-го типа и решаются они по одной схеме. Пусть плоскость задана точкой Мо(х_о;у_о ,z_о;) и вектором (А;В;С) нормальным к ней. Тогда возьмем на плоскости точку М(х;у;z). И тогда векторы М Мо и будут ортогональны и получим А(х- х_о)+В(у- у_о)+С(z- z_о)=0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0. Из этого уравнения видно, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными – уравнение плоскости в пространстве. Можно рассматривать частные его случаи в зависимости от значений коэффициентов А,В,С,D.

4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.

1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.

2.Расстояние от точки до плоскости.

3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).

4.Точка пересечения плоскостей.

5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.

Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию : для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую плоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.

Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде пересечения двух плоскостей или .

Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(х_о;у_о ,z_о) и М₁(х₁;у₁;z₁). Тогда из условий параллельности (коллинеарности) векторов ММо и МоМ₁ получим . Если же обозначить вектор МоМ₁= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что , фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).

Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.

Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей

Решение. Сразу видно, что ранг основной и расширен ной матрицы не больше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0.

Т.о. r(A)=2.

Для расширенной матрицы имеем =0.

Т.е. r(A)’=3.

Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.

При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: плоскость характеризуется нормалью и точкой Мо(х_о;у_о ,z_о) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М₁(х₁;у₁;z₁) на прямой .

Так, если плоскость параллельна прямой , то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой, то всегда коллинеарен. Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему

можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметру t; затем выразить через параметр переменные x,y,z (x=mt+ х_о, e=nt+y_о, z=pt+z_о; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметра t для точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.