III. Пример задачи динамического программирования

Выбор состава оборудования технологической линии.

Есть технологическая линия , то есть цепочка, последовательность операций.

На каждую операцию можно назначить оборудование только какого-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной операции, - несколько видов.

Исходные данные для примера

i	1		2		3
j	1	2	1	2	1	2
	10	8	4	5	8	9
	12	8	4	6	9	9
	20	18	6	8	10	12

Стоимость сырья

Расходы , связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-ой операции

Производительности, соответственно, по выходу и входу и для j-готипа оборудования, претендующего на i-ую операцию.

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу методом динамического программирования введем следующие обозначения:

N = 3 – число шагов.

- Технологическая линия.

= (0,0,0)

= ( )

–выбор оборудования для i-ой операции.

U_i – область допустимых УВ на i-м шаге.

т.е.

W_i – оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации i-го шага.

S – функция общего выигрыша т. е. минимальная себестоимость .

- вектор – функция, описывающая переход системы из состояния в состояние под действием УВ.

- вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x_i-1 в состояние x_{i ,} т.е. оптимальный выбор оборудования за N шагов.

S_i+1() – максимальный выигрыш ( в нашем случае минимальная себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояниепри оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S₁() – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечноепри реализации оптимальной стратегии управления. Очевидно, чтоS = S₁(), если = 0.

Запишем вектора допустимых значений

Запишем вектора допустимых управляющих воздействий

З

апишем вектор – функцию, описывающую переход системы из состояния в состояние под действием УВ.

З

апишем основное функциональное уравнение

1) Обратный проход

Д

ляi=3

Учитывая то, что этот шаг у нас последний и следующей операции

у

же не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции

возьмем стоимость сырья

при =

при =

т. е.

Для i=2

115,2

при =

138,04

при =

102,8

при =

123,1

при =

т. е.

Д

ляi=1

140,2

при =

125,3

при =

п

125,3

ри =

125,3

при ==

125,3

при =

125,3

при =

125,3

при =

125,3

при =

т. е.

2. П

   

   рямой проход

Учитывая то, что и = (0,0,0) имеем

i=1

i=2

i

=3

Таким образом оптимальный выбор состава оборудования технологической линии предполагает следующее:

На 1-ую операцию назначим оборудование 2-го вида

На 2-ую операцию назначим оборудование 1-го вида

На 3-ью операцию назначим оборудование 2-го вида

Оценка минимальной себестоимости составит 105,5.

12