6. Многочлены чебышева некоторые их приложения

Многочлены Чебышева. Многочлены Чебышева степени п,обозначаемые Т_п{х), определяются на интервале формулой(1) Несколько первых многочленов Чебышева, вычисленные по фор­муле (1), таковы:

Введем подстановку , тогда. Зная, что

и переходя к прежнему переменному х, получаем формулу

(2)

которую также можно принять за определение многочленов Че­бышева.

Коэффициент при старшем члене многочлена Т_п (х) может быть вычислен с помощью предельного перехода:

Рекуррентное соотношение, основанное на тождестве

,

позволяет последовательно вычислять многочлены Чебышева:

Нули (корни) многочленов Т_п(х) на интервале опреде­ляются формулой

Они расположены неравномерно на интервале и сгущаются к его концам. Максимумы и минимумы многочленов Чебышева нахо­дятся по обычным правилам вычисления экстремумов функции одной переменной:

Из приведенных формул видно, что все максимумы равны +1, а все минимумы равны -1. В конечных точках интервала значения многочленов Чебышева также равны ±1:

(3)

Система многочленов Чебышева ортогональна на интервале ] при весе .Проверим это утверждение.

Преобразуем интеграл

положив

(4)

Многочлены можно нормировать, положив

тогда, учитывая (4),

Теорема Чебышева: Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех следующих случаях:

1. ; 2)3)

Подстановки Чебышева:

1) .Подстановка ,гдеs-наименьшее обшее кратное дробей m и n.

2) целое число. Подстановка гдеs-знаменатель дроби p.

3) целое число. Подстановка , гдеs-знаменатель дроби p.

Пример1:

Имеем:

Подстановка дает

7. Определенный интеграл. Формула ньютона-лейбница

Пусть в интеграле нижний предел а =const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема 1: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема 2: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то:

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция отf(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.