СОДЕРЖАНИЕ

Задание………………………………………………………………………………2

Введение…………………………………………………………………………….4

1. Неопределенный интеграл и его свойства…………………………………7

2. Замена переменных и интегрирование по частям………………………... 12

3. Интегрирование рациональных дробей……………………………………17

4. Универсальная тригонометрическая подстановка……………………….. 21

5. Интегрирование квадратных иррациональных выражений………………23

6. Многочлены Чебышева некоторые их приложения……………………...27

7. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница……………….....31

8. Суммы Дарбу. Интегрируемость непрерывных функций………………...34

9. Свойства определенного интеграла………………………………………...40

10. численное интегрирование. Метод Симпсона…………………………......43

Заключение………………………………………………………………………….46

Список литературы…………………………………………………………………49

ВВЕДЕНИЕ

Мною была выбрана курсовая работа по теме вычисление интегралов, в связи с этим, я решил узнать, откуда появился этот загадочный значок интеграл, почему так называется и такую большую роль играет в математике.

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введенЛейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В 1696г., появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называютопределенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

Раскрытие темы курсовой работы я провел по следующему плану: Неопределенный интеграл и его свойства; замена переменных и интегрирование по частям; интегрирование рациональных дробей; универсальная тригонометрическая подстановка; интегрирование квадратных иррациональных выражений; многочлены Чебышева некоторые их приложения; определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница; суммы Дарбу; Интегрируемость непрерывных функций; свойства определенного интеграла численное интегрирование; Метод Симпсона.

1. Неопределенный интеглал и его свойства

Определение. Если функция F(x) является первообразной функции f(x), то выражение F(x)+c называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

Таким образом, по определению,, гдеF′(x)=f(x) При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, символ - знаком интеграла.

Следовательно, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y=F(x) +c . Графически он представляет однопараметрическое семейство кривых на плоскости с параметром с.

Например, интеграл представляет семейство парабол (рис.1) .

Неопределенный интеграл существует на отрезке [a,b], если

подынтегральная функция непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Доказательство. Пусть F′(x)=f(x), тогда и

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно:

Свойство 3. Неопределенный интеграл от производной функции равен этой функции плюс постоянная с

Действительно. Найдем следующие производные.

Так как правые части равны, то равны и левые, т.е.

Свойство 4.

Действительно. Так как , то результат следует из свойства 3.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

a=const

Свойство 6. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е.

Свойство 7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла.

Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию от нее, т.е.

отсюда следует, что

где - дифференцируемая функция.

Доказательство. В силу инвариантности дифференциала первого порядка dF(x)=f(x)dx, поскольку F′(x)=f(x).Кроме того, dF(u)=f(u),где u=φ(x).

Тогда Свойство доказано.

Следствие 1.

Следствие 2. aи b - const

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. (n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. (a≠0).

15. (a≠0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u| < |a|).

18.

19.

2. Замена переменных и интегрирование по частям

2.1 Замена переменных:

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную дляf(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=φ(t), (1)

где φ(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= φ′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

(2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, гдеt-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции.

Таким образом, имеем

Следовательно, производные от х от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде , а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид

.

Здесь удобно положить

,

тогда

.

Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

Пример 1.

Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно,

Пример 2.

Полагаем t=1+x² ;тогда dt=2xdx и

Пример 3. Полагаемt=lnx; тогда

.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем какимлибо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта.