1.1.4. Свойства волнового вектора электронов в кристалле. Зоны бриллюэна

На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, то есть не сохраняются.

Однако, пользуясь понятием волнового вектора , выведенного для электрона в кристалле, то есть входящего в функцию Блоха, можно вывести характеристику, сохраняющуюся во времени. Это квазиимпульс

.

Квазиимпульсу соответствует оператор , который коммутирует с гамильтонианом кристаллической решетки, следовательно, для квазиимпульса справедлив закон сохранения. Тогда между собственными функциями операторов квазиимпульса и энергии должна быть определенная функциональная связь:

,

- энергия должна быть функцией квазиимпульса.

Волновой вектор электронов в кристалле в отличие от волнового вектора свободного электрона неоднозначен. Можно показать, что состояния, характеризуемые волновыми векторами и- вектор обратной решетки) физически эквивалентны. Следовательно, энергия электронов, находящихся в этих состояниях, одинакова. То есть, и волновая функция, и энергия электрона в кристалле, являются периодическими функциями волнового векторас периодами

.

Если в - в пространстве построить обратную решетку, растянутую враз, то есть решетку с векторами, то все- пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в- пространстве, содержащий все возможные различные состояния, называют первой, или основной зоной Бриллюэна. С помощью векторов обратной решетки любую точку- пространства можно перевести в первую зону Бриллюэна.

Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зонам Бриллюэна, позволяет при движении электрона в - пространстве рассматривать его траекторию только в пределах первой зоны Бриллюэна.

Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Воспользовавшись циклическими граничными условиями Борна-Кармана и предположив, что кристалл имеет форму параллелепипеда с размерами , получаем разрешенные значения компонентов волнового вектора:

причем

где - числа атомов, располагающихся на ребрах, тогда

или

.

Учитывая, что состояние с волновыми векторами иэквивалентны, получаем:. Нижнее значение.

Таким образом, числа разрешенных значений компонентов вектора , заключенных в интервале, составляютдлясоответственно. Всего в зоне Бриллюэна имеетсяразрешенных состояний.

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений, ограниченную первой зоной Бриллюэна.

Так как для двух значений , отличающихся на, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписать индексып так, чтобы при заданном п собственные функции и собственные значения решений уравнения Шредингера были периодическими функциями вектора в обратной решетке:

.

Совокупность всех энергетических уровней электрона, описываемых функцией при фиксированном значениип, называют энергетической зоной. Так как каждая функция периодична и квазинепрерывна, у нее существуют верхний и нижний пределы. Все уровни энергии данной энергетической зоны заключены в интервале между этими пределами. При ширине зоны ~1эВ расстояние между энергетическими уровнями составляет ~эВ, что много меньше .Это позволяет в ряде случаев не учитывать дискретность энергии в пределах зоны.

Поскольку каждому разрешенному значению соответствует разрешенный уровень энергии, и на каждом уровне в силу принципа Паули может располагаться два электрона с противоположно направленными спинами, число электронов в разрешенной зоне не может превышать 2N.