
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая
академия им. П.А. Соловьева
КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
УТВЕРЖДЕНО
на заседании методического
семинара кафедры ОиТФ
« » _________ 2007 г.
Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.
Лаборатория «Волновая механика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА№ ВМ – 7
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
-
Нормоконтроль
Автор: к. т. н., доцент Суворова З. В.
____________
___________________
Рецензент: к. ф–м. н., доцент Шалагина Е.В.
___________________
Рыбинск 2007
ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Убедитесь в присоединении заземляющих проводов к корпусам осциллографа, генератора.
Включать приборы только с разрешения преподавателя.
Не производить никаких переключений на лицевой панели осциллографа и генератора, кроме тех, что указаны в настоящем руководстве.
При обнаружении признаков неисправности (искрение, запах дыма) отключить приборы от сети и известить преподавателя.
При работе соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170, определяющей правила работы в лаборатории волновой механики!
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: наблюдение резонанса в цепи переменного тока, установление критериев его возникновения в параллельном и последовательном контурах.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: блок исследуемых колебательных контуров с переключателем; звуковой генератор и осциллограф.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Рис.1
в контуре возникают гармонические
колебания.
Падение
напряжения на конденсаторе .
При замыкании цепи в индуктивности
возникает ЭДС индукции
где ток
,
поэтому
.
Согласно
второму правилу Кирхгофа
то есть
,
или
Рис.
2
Его решение
,
где
– заряд конденсатора в момент
времени t
= 0.
Для тока в катушке имеем:
–сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.2).
Напряжение на конденсаторе меняется по закону:
При
колебаниях происходит периодический
переход электрической энергии конденсатора
в магнитную энергию катушки
.
При этом полная электромагнитная энергия
сохраняется.
Рис.
3
Разделим это
уравнение на L и
подставим,
Учитывая,
что ,
и обозначив
,
получаем
– дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
При
,
т.е. при
(
–
коэффициент затухания), решение этого
уравнения имеет вид
,
(1)
где .
Подставив
и
,
получаем
Таким образом, частота затухающих
колебаний
меньше собственной частоты
.
Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1) на С, имеем
Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1) по времени:
Обозначим
тогда
Рис.
4
то
– при наличии в контуре активного
сопротивления сила тока опережает по
фазе напряжение на конденсаторе более,
чем на
График
функции
представлен на рис.4.
Логарифмический декремент затухания
Он определяется параметрами контура
R, L,
C и
является характеристикой этого контура.
Если
затухание невелико ,
то
и
Добротность контура в случае слабого
затухания
При слабом
затухании добротность контура
пропорциональна отношению энергии,
запасённой в контуре в данный момент,
к убыли этой энергии за один период.
Действительно, амплитуда силы тока в
контуре убывает по закону .
Энергия W,
запасённая в контуре, пропорциональна
квадрату амплитуды силы тока, следовательно
W убывает
по закону
.
Относительное уменьшение за период
равно:
При
незначительном затухании <<1
и можно считать
≈1-2.
Тогда добротность
.
При
частота становится комплексным числом,
и происходит апериодический процесс
разрядки конденсатора. Сопротивление
контура, при котором колебательный
процесс переходит в апериодический,
называется критическим,
Чтобы
вызвать вынужденные колебания, нужно
оказывать на систему внешнее периодически
изменяющееся воздействие. В случае
электрических колебаний это можно
осуществить, если включить последовательно
с элементами контура переменную ЭДС
или подать на контур переменное напряжение
(рис.5).
Рис.
5
По второму
правилу Кирхгофа
или
. Разделив на L,
получаем уравнение вынужденных колебаний
(2)
Частное решение этого уравнения
(3)
где
Подставим
и
:
Общее решение получится, если к
частному решению (3) прибавить общее
решение однородного дифференциального
уравнения, которое было получено ранее.
Оно содержит множитель ,
который очень быстро убывает, и при
прошествии достаточно большого времени
им можно пренебречь. Таким образом,
установившиеся вынужденные электромагнитные
колебания в контуре описываются
уравнением (3).
Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:
где
– сдвиг фаз между током и приложенным
напряжением. Тогда
Из этого
выражения следует, что ток отстает по
фазе от напряжения ()
при
,
и опережает напряжение (
)
при
.
Для силы тока можно записать
.
(4)
Представим
соотношение (2) в виде:.
Произведение
– падение напряжения на активном
сопротивлении;
– падение напряжения на конденсаторе;
– напряжение на индуктивности; тогда
можно записать
.
(5)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.
Согласно (4)
– напряжение на активном сопротивлении
совпадает по фазе с током в контуре.
Для
напряжения на конденсаторе, подставив
(3), имеем –
напряжение на ёмкости отстаёт от силы
тока на π/2.
Напряжение на индуктивности
,
где ,
– напряжение на индуктивности
опережает ток на π/2.
Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний , а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).
Рис.
6
совпадает по фазе с током,
– отстаёт на π/2),
– опережает на π/2. Векторы
,
,
в сумме дают
,
причём U
определяется выражением (5).
При
определенной частоте внешнего воздействия
в контуре наступает резонанс. Резонансная
частота для напряжения на конденсаторе
и для заряда q
равна:
Резонансные кривые для
имеют вид, представленный на рис.7. Все
резонансные частоты
.
При ω→0 резонансные кривые сходятся в
одной точке
– это напряжение на конденсаторе при
подключении его к источнику постоянного
напряжения
.
Максимум при резонансе тем острее и
выше, чем меньше затухание β=R/2L,
то есть чем меньше R
и больше L.
Ход резонансной кривой аналогичен
резонансной кривой при механических
колебаниях.
Рис.
7
Амплитуда
силы тока имеет максимальные значения,
когда ,
то есть резонансная частота для силы
тока совпадает с собственной частотой
колебаний контура:
Рис.
8
При малом
затухании ()
резонансную частоту для напряжения
можно считать равной
.
Тогда отношение амплитуды напряжения
на конденсаторе при резонансе к амплитуде
внешнего напряжения равно:
– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.
Итак, при
резонансе причём
поэтому
– амплитуды
напряжений на ёмкости и индуктивности
равны между собой, но противоположны
по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости
и индуктивности компенсируют друг
друга, и цепь ведёт себя как цепь только
с активным сопротивлением. Вся энергия,
приложенная к контуру, идёт на Ленц-Джоулево
тепло. Ток в цепи достигает максимального
значения. Это резонанс напряжений –
индуктивного
и емкостного
.
Рассмотрим колебательный контур, в котором индуктивность L и ёмкостьСсоединены параллельно (рис. 9).
Рис.
9
По второму
правилу Кирхгофа
токи
и
в каждый момент времени находятся в
противофазе, поэтому
Ток в неразветвлённой цепи равен
,
или
.
При 1/ωL=ωCтокI = 0. Условие
резонанса токов–
частота колебаний равна собственной:
Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением, переменного тока, который обусловлен переменным напряжением:
.
Ток изменяется
по закону
амплитуда
тока
Ток отстаёт от напряжения
по фазе на угол
:
.
Если
<0,
ток опережает
напряжение.
Полное электрическое сопротивление (импеданс) равно
,
где R
– активное сопротивление,– реактивное индуктивное сопротивление,
– реактивное емкостное сопротивление.
Ток на
индуктивности отстаёт от напряжения
на π/2, а ток на емкости
опережает напряжение наπ/2.
Выражениепредставляет собой реактивное
сопротивление или реактанс.
С учётом
сказанного
Таким образом, если значения сопротивленийRиXотложить вдоль катетов треугольника,
то длина гипотенузы будет численно
равнаZ (рис.10).
Рис.
10
Из тригонометрии
.
Тогда
Среднее значение
обозначимр. Среднее значение
,
тогда
.
Однако
тогда
(рис.11).
Рис.
11
Это значение силы тока называется
эффективным или действующим.
Аналогично
действующее значение напряжения.
Тогда средняя мощность;
величина
называется коэффициентом мощности. Чем
меньше
,тем ближе
к 1, тем больше мощность.