1.2 Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина в этом случае есть функция положения точки с координатамиx, y, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр массC тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:

.

В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр, обруч радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Таблица 1.2.1

Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.

1.3 Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1.3.1). Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами , ,..., , находящиеся на расстоянии ,,...,от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массамиопишут окружности различных радиусови имеют различные линейные скорости. Но так как мы рассматриваем абсолютно твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

(1.3.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

.

Используя выражение (1.3.1), получим:

Рис. 1.3.1

, (1.3.2)

где – момент инерции тела относительно осиz.

Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерцииI вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.

В случае, когда тело совершает одновременно поступательное и вращательное движение (например, шар катится по плоскости), его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

1.4 Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точкиO в точку A приложения силы, на силу (рис. 1.4.1):

(1.4.1)

Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении отк.

Модуль момента силы

Рис. 1.4.1

,

где – угол междуи,– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкойО – плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точкиO данной оси z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

. (1.4.2)

Получили основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I– главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).