
- •Предисловие
- •Логика высказываний
- •Высказывания и операции
- •Полные системы связок
- •Схемы из функциональных элементов
- •Исчисление высказываний
- •Исчисление высказываний (ИВ)
- •Второе доказательство теоремы о полноте
- •Поиск контрпримера и исчисление секвенций
- •Интуиционистская пропозициональная логика
- •Языки первого порядка
- •Формулы и интерпретации
- •Определение истинности
- •Выразимые предикаты
- •Выразимость в арифметике
- •Невыразимые предикаты: автоморфизмы
- •Арифметика Пресбургера
- •Элементарная эквивалентность
- •Игра Эренфойхта
- •Понижение мощности
- •Исчисление предикатов
- •Общезначимые формулы
- •Аксиомы и правила вывода
- •Корректность исчисления предикатов
- •Выводы в исчислении предикатов
- •Полнота исчисления предикатов
- •Переименование переменных
- •Предварённая нормальная форма
- •Теорема Эрбрана
- •Сколемовские функции
- •Теории и модели
- •Аксиомы равенства
- •Повышение мощности
- •Полные теории
- •Неполные и неразрешимые теории
- •Диаграммы и расширения
- •Ультрафильтры и компактность
- •Нестандартный анализ
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Указатель имён
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Н. К. Верещагин, А. Шень
ЯЗЫКИ И ИСЧИСЛЕНИЯ
Издание третье, дополненное
Москва Издательство МЦНМО, 2008

УДК 510.6 ББК 22.12 В31
Верещагин Н. К., Шень А.
В31 Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. | 3-е изд., дополн. | М.: МЦНМО, 2008. | 288 c.
ISBN 978-5-94057-322-7
Книга написана по материалам лекций и семинаров, проводившихся авторами для студентов младших курсов мехмата МГУ. В ней рассказывается об основных понятиях математической логики (логика высказываний, языки первого порядка, выразимость, исчисление высказываний, разрешимые теории, теорема о полноте, начала теории моделей). Изложение рассчитано на учеников математических школ, студентов-математиков и всех интересующихся математической логикой. Книга включает около 200 задач различной трудности.
Предыдущее издание книги вышло в 2002 г.
ББК 22.12
Тексты, составляющие книгу, являются свободно распространяемыми и доступны по адресу
ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/firstord
Николай Константинович Верещагин Александр Шень
Лекции по математической логике и теории алгоритмов Часть 2. Языки и исчисления
Подписано в печать 01.11.2007 г. Формат 84 ×108 1/32. Бума-
га офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 9,0. Тираж 1000 экз. Заказ Ђ
Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11. Тел. (495) 241{74{83.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография "Новости\». 105005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, 46
|
c Верещагин Н. К., |
ISBN 978-5-94057-322-7 |
Шень А., 2000, 2008 |
|
Оглавление |
|
Предисловие |
5 |
|
1. |
Логика высказываний |
9 |
|
1.1. Высказывания и операции . . . . . . . . . . |
9 |
|
1.2. Полные системы связок . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
1.3. Схемы из функциональных элементов . . . |
25 |
2. |
Исчисление высказываний |
47 |
|
2.1. Исчисление высказываний (ИВ) . . . . . . . |
47 |
|
2.2. Второе доказательство теоремы о полноте |
56 |
|
2.3. Поиск контрпримера и исчисление |
|
|
секвенций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
2.4. Интуиционистская пропозициональная |
|
|
логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
3. |
Языки первого порядка |
87 |
|
3.1. Формулы и интерпретации . . . . . . . . . |
87 |
|
3.2. Определение истинности . . . . . . . . . . . |
93 |
|
3.3. Выразимые предикаты . . . . . . . . . . . . |
96 |
|
3.4. Выразимость в арифметике . . . . . . . . . |
100 |
|
3.5. Невыразимые предикаты: автоморфизмы . |
104 |
|
3.6. Элиминация кванторов . . . . . . . . . . . . |
108 |
|
3.7. Арифметика Пресбургера . . . . . . . . . . |
119 |
|
3.8. Теорема Тарского { Зайденберга . . . . . . |
123 |
|
3.9. Элементарная эквивалентность . . . . . . . |
136 |
|
3.10. Игра Эренфойхта . . . . . . . . . . . . . . . |
142 |
|
3.11. Понижение мощности . . . . . . . . . . . . . |
149 |
4. |
Исчисление предикатов |
156 |
|
4.1. Общезначимые формулы . . . . . . . . . . . |
156 |
|
4.2. Аксиомы и правила вывода . . . . . . . . . |
158 |
|
4.3. Корректность исчисления предикатов . . . |
166 |
|
4.4. Выводы в исчислении предикатов . . . . . . |
169 |
|
4.5. Полнота исчисления предикатов . . . . . . |
178 |
4 |
Оглавление |
|
|
4.6. Переименование переменных . . . |
. . . . . 188 |
|
4.7. Предварённая нормальная форма . |
. . . . . 191 |
|
4.8. Теорема Эрбрана . . . . . . . . . . . |
. . . . 195 |
|
4.9. Сколемовские функции . . . . . . . . |
. . . . 198 |
5. |
Теории и модели |
203 |
|
5.1. Аксиомы равенства . . . . . . . . . . |
. . . . 203 |
|
5.2. Повышение мощности . . . . . . . . . |
. . . . 206 |
|
5.3. Полные теории . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 211 |
|
5.4. Неполные и неразрешимые теории |
. . . . . 225 |
|
5.5. Диаграммы и расширения . . . . . . |
. . . . 236 |
|
5.6. Ультрафильтры и компактность . . |
. . . . 245 |
|
5.7. Нестандартный анализ . . . . . . . . |
. . . . 254 |
Литература |
272 |
|
Предметный указатель |
276 |
|
Указатель имён |
285 |
Предисловие
Нашему учителю, ВЛАДИМИРУ АНДРЕЕВИЧУ УСПЕНСКОМУ
Предлагаемая вашему вниманию книга написана по материалам лекций для младшекурсников, которые читались авторами в разные годы на механико-математи- ческом факультете МГУ. (В этой серии уже вышли книги «Начала теории множеств» и «Вычислимые функции».)
Центральная идея математической логики восходит ещё к Лейбницу и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл.
Усилиями большого числа математиков и логиков второй половины XIX и первой половины XX века (Буль, Кантор, Фреге, Пеано, Рассел, Уайтхед, Цермело, Френкель, Гильберт, фон Нейман, Гёдель и другие) эта программа была в основном выполнена. Принято считать, что всякое точно сформулированное математическое утверждение можно записать формулой теории множеств (одной из наиболее общих формальных теорий), а всякое строгое математическое доказательство преобразовать в формальный вывод в этой теории (последовательность формул теории множеств, подчиняющуюся некоторым простым правилам). В каком-то смысле это даже стало определением: математически строгим считается такое рассуждение, которое можно перевести на язык теории множеств.
Так что же, теперь математики могут дружно уйти на пенсию, поскольку можно открывать математические теоремы с помощью компьютеров, запрограммированных в соответствии с формальными правилами теории множеств? Конечно, нет, причём сразу по нескольким
6 |
Предисловие |
причинам.
Начнём с того, что машина, выдающая с большой скоростью математические теоремы (и их доказательства), хотя и возможна, но бесполезна. Дело в том, что среди этих верных утверждений почти все будут неинтересными. Формальная логика говорит, какие правила надо соблюдать, чтобы получать верные результаты, но не говорит, в каком порядке их надо применять, чтобы получить что-то интересное.
Казалось бы, мы можем запустить машину и ждать, пока она не докажет интересующее нас утверждение (пропуская все остальные). Проблема в том, что формальное доказательство сколько-нибудь содержательной теоремы настолько длинно, что прочесть его человек не в состоянии. Представьте себе доказательство, которое состоит из миллионов формально правильных шагов, в котором мы можем проверить каждый отдельный шаг, но так и не понимаем, что происходит | много ли в нём проку?
На самом деле прок всё-таки есть: мы узнаём, что доказываемое утверждение верно, хотя так и не понимаем, почему. Так что и такая машина была бы полезна. Увы, и этого сделать не удаётся, поскольку на поиск доказательства сколько-нибудь сложного утверждения известными сейчас методами требуется астрономически большое время (даже если представить себе, что машина работает с предельно возможной по законам физики скоростью).
Можно умерить амбиции и поставить более простую задачу: пусть машина проверяет доказательства, записанные человеком по правилам формальной логики. Если машина не может помочь нам что-то открыть, пусть она хотя бы проверит, не пропустили ли мы какого-то шага рассуждения.
Из всех перечисленных задач эта выглядит наиболее реалистичной. К сожалению, пока что работы и в этом направлении не ушли далеко: формальная запись дока-
Предисловие |
7 |
зательства в виде, пригодном для машинной проверки, является долгим и скучным делом, на которое у математиков не хватает энтузиазма и терпения. А разработать удобные средства такой записи пока не удалось.
Короче говоря, революционная программа Лейбница построения формальных оснований математики осуществилась, но незаметно: под здание математики подвели новый (и довольно прочный) фундамент, но большинство жильцов про это до сих пор не знают.
Так что же, математическая логика бесполезна? Ни в коем случае: она не только удовлетворяет естественный философский интерес к основаниям математики, но и содержит множество красивых результатов, которые важны не только для математики, но и для computer science.
В этой книжке мы расскажем об одном из центральных понятий математической логики | языках и исчислениях первого порядка. В этих языках используются логические связки «и», «или», «если . . . то . . . », а также кванторы «для всех» и «существует». Оказывается, что этих средств достаточно для формализации математических теорий и что можно построить простые формальные правила, полностью отражающие смысл этих логических средств.
Авторы пользуются случаем ещё раз поблагодарить своего учителя, Владимира Андреевича Успенского, лекции, тексты и высказывания которого повлияли на них (и на содержание этой книги), вероятно, даже в большей степени, чем авторы это осознают.
При подготовке текста использованы записи А. Евфимьевского и А. Ромащенко (который также прочёл предварительный вариант книги и нашёл там немало ошибок).
Оригинал-макет книги подготовлен В. В. Шуваловым; без его настойчивости (вплоть до готовности разделить ответственность за ошибки) оригинал-макет вряд ли появился бы к какому-либо сроку. Он же вместе с М. А. Ушаковым (нашедшим несколько существенных ошибок) под-
8 |
Предисловие |
готовил предметный указатель. Мы признательны также К. С. Макарычеву и Ю. С. Макарычеву, которые внимательно прочли вёрстку книги и нашли там немало опеча-
ток.
Авторы признательны Ecole Normale Superieure de Lyon (Франция) за поддержку и гостеприимство во время написания этой книги.
Первое издание книги стало возможным благодаря Российскому фонду фундаментальных исследований, а также И. В. Ященко, который уговорил авторов подать туда заявку.
Наконец, мы благодарим сотрудников, аспирантов и студентов кафедры математической логики мехмата МГУ (особая благодарность | М. Р. Пентусу, указавшему два десятка опечаток), а также всех участников наших лекций и семинаров и читателей предварительных вариантов этой книги.
В третьем издании добавлены формулировка и доказательство теоремы Чёрча о неразрешимости исчисления предикатов (по ошибке отсутствовашие в предыдущих изданиях), а также дополнена информация в именном указателе.
Просим сообщать о всех ошибках и опечатках авторам (электронные адреса ver at mccme dot ru, nikolay dot vereshchagin at gmail dot com; shen at mccme dot ru, alexander dot shen at lif dot univ-mrs dot fr; почтовый адрес: Москва, 121002, Большой Власьевский пер., 11, Московский центр непрерывного математического образования).
Н. К. Верещагин, А. Шень