3.1.2. Случайные погрешности

Случайными называют погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности являются заведомо неопределенными по своей величине и природе. При повторных изменениях они не остаются постоянными, т.к. возникают вследствие совместного воздействия на измерение многих причин, каждая из которых проявляет себя по-разному и независимо друг от друга. Случайные погрешности не могут быть исключены из результатов измерений как систематические погрешности. Однако при проведении некоторого числа повторных измерений теория вероятностей и математическая статистика позволяют несколько уточнить результат, т.е. найти значение измеряемой величины, боле близкое к истинному, чем результат одного измерения.

Многократное измерение одной и той же постоянной величины показывает, что появление одинаковых по размеру и различных по знаку случайных погрешностей сохраняет устойчивую частоту, которая подчиняется определенной закономерности.

Если n – количество измерений, а m – количество полученных случайных погрешностей, то вероятность (частота) P появления этих погрешностей находится по формуле

. (3.6)

При большом количестве измерений вероятность появления различных случайных погрешностей в большинстве случаев подчиняется закону нормального (гауссовского) распределения

, (3.7)

где – вероятность появления случайной погрешности (плотность распределения вероятностей);– случайная погрешность измерения (=x–X_д, x – измеренная величина, X_д – действительное значение);

– (3.8)

среднее квадратическое отклонение результата измерения;

– (3.9)

среднее арифметическое значение из n измерений; x₁, x₂, … , x_n – ряд измеренных значений.

Построим кривые нормального распределения случайных погрешностей по формуле (3.7) для двух значений : =₁ и =2₁ (рис. 1).

Рис. 1. Кривые нормального распределения случайных погрешностей, соответствующие различным значениям : 1 – =_1, 2 – =2₁

Кривые распределения симметричны относительно оси ординат, т.е. появление равных по величине, но противоположных по знаку случайных погрешностей имеет одинаковую вероятность.

В средней части кривые образуют выпуклость, по обе стороны от которой (симметрично относительно оси ординат) находятся точки перегиба а₁ и b₁ (а₂ и b₂), ниже которых кривые становятся вогнутыми, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Точки перегиба разделяют область часто встречающихся случайных погрешностей от области погрешностей, редко встречающихся.

Наибольшая вероятность для обеих кривых соответствует случайной погрешности =0. При возрастании погрешности с любым знаком вероятность ее появления уменьшается.

Как видно из рис. 1, кривые распределения 1 и 2 имеют различные наибольшие вероятности и расстояния между точками перегиба кривых а₁ и b₁ (а₂ и b₂). Промежутки между этими точками и осью ординат равны среднему квадратическому отклонению  результата измерения, характеризующему степень рассеяния (разброса) значений случайных погрешностей. Чем меньше значение , тем меньше рассеяние погрешностей, т. к. при этом почти вся площадь под кривой распределения располагается вблизи оси ординат, что увеличивает вероятность появления малых и уменьшает появление больших погрешностей. Следовательно, уменьшение  приводит к повышению точности измерений.

Основные характеристики кривой нормального распределения приведены на рис. 2.

Рис. 2. Кривая нормального распределения случайных погрешностей

Вероятность того, что случайные погрешности не выйдут за пределы какого-либо интервала, определяется по площади, ограниченной кривой распределения и этим интервалом. Такой интервал  называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности (заштрихованная площадь) Ф(t) – доверительной вероятностью.

Доверительный интервал, характеризующий степень воспроизводимости результатов измерения, может иметь различные значения, причем при большем доверительном интервале получается и большая доверительная вероятность. При измерении может задаваться либо доверительный интервал и по нему определяться доверительная вероятность, либо, наоборот. Таким образом, для характеристики случайной погрешности необходимо иметь две величины – доверительный интервал и доверительную вероятность.

Доверительный интервал  обычно выражают через относительную величину t в долях среднего квадратического отклонения , т.е.

. (3.10)

Для определения доверительной вероятности Ф(t) (ее еще называют интегралом вероятностей или интегралом Лапласа) или величины t служит табл. 3, составленная на основании закона нормального распределения случайных погрешностей.

Таблица 3

Значения доверительной вероятности в зависимости от

доверительного интервала

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0	0	1,6	0,890	3,2	0,999
0,2	0,159	1,8	0,928	3,4	0,9993
0,4	0,311	2,0	0,955	3,6	0,9997
0,6	0,452	2,2	0,972	3,8	0,99986
0,8	0,576	2,4	0,984	4,0	0,999936
1,0	0,683	2,6	0,991	4,5	0,999994
1,2	0,770	2,8	0,995	5,0	0,9999994
1,4	0,839	3,0	0,997

Пример использования таблицы 3.

Пусть для числа измерений n величины X по формулам (3.8) и (3.9) найдены и=0,025. Требуется определить вероятность того, что случайная погрешность отдельного измеренияx_i не выйдет за пределы выбранного доверительного интервала =0,01, характеризуемого неравенством 1,26 x_i 1,28.

По формуле (3.10) находим относительную величину доверительного интервала t=0,4, тогда по табл. 3 Ф(t)=0,311. Следовательно, около 30% общего числа измерений будут иметь случайную погрешность , не превышающую0,01.

Если доверительный интервал = (t=1), то доверительный интервал Ф(t)=0,68. Это соответствует тому, что примерно 70% случайных погрешностей не будут превышать значения среднего квадратического отклонения .

Если =2 (t=2), то Ф(t)=0,95.

Если =3 (t=3), то Ф(t)=0,997.

Для практических измерений ограничиваются обычно доверительной вероятностью 0,9 или 0,95.

Для предварительной оценки степени достоверности отдельных измерений ряда, кроме среднего квадратического отклонения  применяются также вероятная погрешность и предельная (наибольшая возможная) погрешность.

Вероятная погрешность соответствует значению t=0,675 и доверительной вероятности Ф(t)=0,5 (табл. 3). Находится она по формуле

. (3.11)

Смысл определения этой погрешности состоит в том, что при многократном измерении постоянной величины 50% случайных погрешностей будут меньше вероятной погрешности и 50% – больше ее.

Предельная погрешность равна доверительному интервалу , т.е. определяется из равенства

. (3.12)

Табл. 3 справедлива только для большого количества измерений (n велико). Часто на практике n мало, что делает невозможным применение закона нормального распределения случайных погрешностей.

При малых n используется распределение случайных погрешностей, предложенное Стьюдентом. Для этого распределения доверительный интервал  или доверительная вероятность P_s определяются в зависимости от n по табл.4. Величина t_s, которая называется коэффициентом Стьюдента, выражается соотношением

. (3.13)

Таблица 4

Значения t_sприP_s

Ps n	0,5	0,7	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2	1,000	1,963	6,31	12,71	31,8	63,7	637,2
3	0,816	1,336	2,92	4,30	6,96	9,92	31,6
4	0,765	1,250	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94
5	0,741	1,190	2,13	2,77	3,75	4,60	8,61
6	0,727	1,156	2,02	2,57	3,36	4,03	6,86
7	0,718	1,134	1,943	2,45	3,14	3,71	5,96
8	0,711	1,119	1,895	2,36	3,00	3,50	5,40
9	0,706	1,108	1,860	2,31	2,90	3,36	5,04
10	0,703	1,110	1,833	2,26	2,82	3,25	4,78
11	0,700	1,093	1,812	2,23	2,76	3,17	4,59
12	0,697	1,088	1,796	2,20	2,72	3,11	4,49
13	0,695	1,083	1,782	2,18	2,68	3,06	4,32
14	0,694	1,079	1,771	2,16	2,65	3,01	4,22
15	0,692	1,076	1,761	2,14	2,62	2,98	4,14
16	0,691	1,074	1,753	2,13	2,60	2,95	4,07
17	0,690	1,071	1,746	2,12	2,58	2,92	4,02
18	0,689	1,069	1,740	2,11	2,57	2,90	3,96
19	0,688	1,067	1,734	2,10	2,55	2,88	3,92
20	0,688	1,066	1,729	2,09	2,54	2,86	3,88

Пример использования табл. 4.

Пусть n=6, по формулам (3.8) и (3.9) найдены и=0,25. Требуется определить доверительную вероятность P_s , если отличается от истинного значенияX на величину доверительного интервала =0,2 (т.е. 35,2 X35,6).

Находим по (3.13) коэффициент Стьюдента t_s 2. По табл. 4 в зависимости от n и t_s определяем P_s = 0,9. Следовательно, случайная погрешность отдельного измерения в 90% случаев не выйдет за пределы 0,2.