Область определения функции

Множество всех значений X (xX), которые может принимать аргумент функции x, называется областью определения этой функции.

Множество всех значений Y (yY), которые может принимать функция f(x), называется областью значений этой функции.

 Примеры: Областью определения функции y = x² является интервал (– ; ), а областью значений функции – интервал [0; ).

 Задача 1. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 2x – 4  0  x  2, т.е. x  [2; ).

 Задача 2. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 4 – x² > 0  – 2 < x < 2, т.е. x  (–2; 2).

Элементарные функции

Степенная функция: y = xⁿ (n - степень, nR)

Линейная y = x, квадратичная y = x², кубическая y = x³, гиперболическая и постояннаяy = 1 функции являются частными случаями степенной функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.

Показательная функция: y = a^x (a - основание степени, a > 0, a  1).

Показательная функция с основанием a = e = 2,718… называется экспоненциальной функцией y = e^x.

Областью определения показательной функции является интервал (– ; ), а областью значений функции – интервал (0; ).

Логарифмическая функция: y = log_ax (a - основание логарифма, a > 0, a  1).

Логарифмическая функция с основанием a = e = 2,718… называется натуральным логарифмом: y = lnx, а логарифмическая функция с основанием a = 10 - десятичным логарифмом: y = lgx.

Областью определения логарифмической функции является интервал (0; ), а областью значений функции интервал (– ; ).

Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

Областью определения функций y = sinx, y = cosx является интервал (– ; ), а областью значений функций – интервал [– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (– /2 + n; /2 + n), а областью значений функции - (– ; ). Областью определения функции y = ctgx является интервал (n;  + n), а областью значений функции - (– ; ).

Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Областью определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью значений функций – интервал (– ; ). Областью определения функции y = arctgx является интервал (– ; ), а областью значений функции - (– /2 + n; /2 + n). Областью определения функции y = arcctgx является интервал (– ; ), а областью значений функции - (n;  + n).

 Пример функции прибыли: В наиболее общем виде прибыль П (profit) определяется как разность между полным доходом (выручкой) от реализации продукции или услуг R (revenue) и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С учетом кривой спроса R = pQ = (p₀ – aQ)Q, где Q (quantity) - объем реализации, p (price) - цена. С другой стороны издержки делятся на постоянные и переменные, т.е. C = C_f + C_vQ. Таким образом, П = – aQ² + (p₀ – C_vQ) – C_f, т.е. зависимость П от Q квадратичная.

Обратная функция

Если из зависимости y = f(x) вытекает соотношение x = g(y), то функция g(y) называется обратной функцией (относительно функции f(x)).

 Пример: Обратной функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция .

Показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции являются обратными.

Область определения X функции f(x) является областью значений Y обратной функции g(y) и наоборот.