Эйлеровы графы
Определение 1. Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа и проходящий через каждое по одному разу.
Пример 1. Рассмотрим граф
Он имеет эйлеров путь (x4, x1, x3, x2, x1, x5, x3).
Определение 2. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа и проходящий через каждое по одному разу.
Определение 3. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.
Пример 2. Рассмотрим граф
Данный граф является эйлеровым, так как он имеет эйлеров цикл (x2, x5, x4, x1, x2, x3, x4, x2).
Теорема 1. Эйлеров граф связный, и все его вершины четны.
Доказательство.
Связность следует из определения эйлерового графа. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: количество входов в вершину и количество выходов из вершины.
Теорема 2. Если граф G(X,T) связный и все его вершины четны, то он обладает эйлеровым циклом.
Теорема 3. Если граф G(X,T) обладает эйлеровым путем с концами А и В, то граф G(X,T) связный и А и В его единственные нечетные вершины.
Доказательство.
Если путь начинается в А и кончается в В, то А и В нечетные вершины, даже если путь неоднократно проходил через них. В любую другую вершину путь должен привести и вывести из нее, т.е. остальные вершины четные.
Теорема 4. Если граф G(X,T) связный и А и В его единственные нечетные вершины, то граф обладает эйлеровым путем с концами А и В.
Теорема 5. Если граф G(X,T) связный, то можно построить цикличный маршрут, содержащий все ребра в точности 2 раза, по одному в каждом направлении.
Гамильтоновы графы
Определение 1. Гамильтоновым путем в графе называется путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.
Пример 1. Рассмотрим граф
Он имеет гамильтоновы пути (x3, x4, x5, x1, x2) и (x3, x4, x2, x5, x1).
Определение 2. Гамильтоновым циклом в графе называется цикл, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.
Определение 3. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.
Пример 2. Рассмотрим граф
Данный граф является гамильтоновым, так как он имеет гамильтоновы циклы (x1, x7, x6, x3, x4, x5, x2, x1) и (x1, x6, x3, x4, x5, x2, x7, x1).
Всякий полный граф является гамильтоновым, так как он содержит такой простой цикл, которому принадлежат все вершины графа.
Теорема. Граф с m вершинами имеет гамильтонов цикл, если для любой его вершины Ai степень (Ai) > m/2.
Сети Петри
Сети Петри — математический аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Впервые описаны Карлом Петри в 1962 году.
Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети.
Событием называют срабатывание перехода, при котором метки из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. События происходят мгновенно, разновременно при выполнении некоторых условий.
Пример сети Петри. Белыми кружками обозначены позиции, полосками — переходы, чёрными кружками — метки.