Определение задачи линейного программирования (злп), общая, симметричная и каноническая формы записи задачи линейного программирования

Определение 1. Задача, в которой требуется найти экстремум функции

при ограничениях:

,

называется общей задачей линейного программирования (ЗЛП).

Задача в краткой записи имеет вид

,

Определение 2. Задача, в которой требуется найти экстремум функции

при ограничениях:

,

называется задачей линейного программирования, заданной в канонической форме.

Определение 3. Задача, в которой требуется найти экстремум функции

при ограничениях:

,

называется задачей линейного программирования заданной в симметричной форме записи.

Определение 4. Функция

называется целевой функцией ЗЛП.

Определение 5. Совокупность чисел  удовлетворяющая ограничениям ЗЛП, называется допустимым решением ЗЛП.

Определение 6. Допустимое решение, при котором целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным решением ЗЛП.

Переход от одной формы злп к другой

Переход от неканонической формы ЗЛП к канонической.

Теорема 1. Каждому решению  неравенства  соответствует единственное решение  уравнения  и неравенства , и наоборот.

Из теоремы следует, что неравенство  можно заменить уравнением  и неравенством .

Переменную  называют балансовой переменной.

Следовательно, чтобы привести задачу к каноническому виду, нужно заменить каждое неравенство системы ограничений соответствующим уравнением и неравенством , введя в каждое неравенство балансовую переменную с коэффициентом +1, если знак неравенства £, и с коэффициентом -1, если знак неравенства ³. В целевую функцию балансовые переменные вводятся с нулевыми коэффициентами.

Если на переменную  не наложено условие на неотрицательность, то эту переменную надо представить в виде разности двух неотрицательных переменных: , где  

Переход от канонической формы ЗЛП к симметричной форме.

Чтобы перейти от канонической формы ЗЛП к симметричной, нужно найти общее решение системы уравнений:

Так как все переменные должны быть неотрицательными, в том числе и базисные, получим систему неравенств:

Чтобы исключить базисные переменные из целевой функции, необходимо в целевую функцию вместо базисных переменных подставить их выражения через свободные переменные.

Пример 1. Дана ЗЛП: найти наибольшее значение функции  при ограничениях:

.

Приведем ее к каноническому виду.

Канонический вид задачи: найти наибольшее значение функции  при ограничениях:

.

Пример 2. Перейти от канонического вида задачи к симметричному. Найти наибольшее значение функции  при ограничениях:

.

Разрешим систему относительно произвольного базиса, система примет вид

И так как , отбросив базисные переменные, получим систему неравенств

Выразим целевую функцию через свободные переменные:

Симметричный вид задачи: найти наибольшее значение функции  при ограничениях:

.

Математические модели экономических задач Задача об оптимальном использовании ресурсов

Предприятие может выпускать определенные виды продукции, используя для этого различные виды ресурсов. Известны затраты каждого вида ресурса на производство единицы каждого вида продукции и прибыль от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции, чтобы при данных запасах ресурсов получить максимальную прибыль.

Составим математическую модель данной задачи.

Введем обозначения:

i - номер i-го вида ресурса, ;

b_i - запасы i-го вида ресурса, ;

j - номер j-го вида продукции, ;

a_ij - затраты i-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции;

c_j - прибыль от реализации единицы j-го вида продукции.

Все данные занесем в таблицу:

 

Виды продукции Виды ресурсов	1    2    …     j     …      n	Запасы ресурсов
1 2 … i … m	a11   a12   …   a1j   …   a1n a21    a22    …   a2j   …   a2n … ai1     ai2   …   aij   …   ain … am1    am2   …   amj   …   amn	b1 b2 … bi … bm
Прибыль от реализации единицы продукции	c1  c2    …cj…cn

Обозначим через x_j - планируемый выпуск j-го вида продукции; - план выпуска продукции. Тогда прибыль от реализации всей выпускаемой продукции составит

c₁x₁ + c₂x₂ +…+c_jx_j +…+c_nx_n.

Составим ограничения по ресурсам. Найдем расход первого вида ресурса:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jх_j +…+a_1nx_n.

Первый вид ресурса имеется в наличии b₁ условных единиц, т.е. получаем ограничение a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j +…+a_1nx_n  b₁.

Аналогично составляем ограничения по всем остальным видам ресурсов.

Кроме того, x_j  0, , так как количество продукции не может быть отрицательным числом.

Получим ЗЛП: найти наибольшее значение функции при ограничениях:

,

Таким образом, математической моделью данной задачи является ЗЛП.