§3.9. Числовые ряды

Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел (1),

где - общий член ряда.

Конечная сумма чисел называется частичной суммой ряда.

Если S_n стремится к конечному пределу S, то говорят, что ряд сходится, а предел называется суммой ряда. Если предел ряда не существует или , то говорят, что ряд расходится.

! Пример: Числовой ряд сходится и сумма равнаS = 1. Ряд с a_n = n расходится. Ряд с a_n = (– 1)ⁿ тоже расходится.

Свойства рядов

1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд также сходится и его сумма равнаcS.

2. Если ряд (1) и ряд сходятся, то сходятся также их сумма и разность.

3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд геометрической прогрессии

Числовой ряд называется суммой геометрической прогрессии, если (q – знаменатель прогрессии). Ряд геометрической прогрессии при q < 1 сходится, а при q > 1 расходится. Сумма геометрической прогрессии при q < 1 равна S = b/(1 – q). Это известная формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

@ Задача 1. Найти сумму 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ···

Решение: Данный числовой ряд - это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b = 1 и q = 1/3. Следовательно, сумма ряда равна S = 1/(1 – 1/3) = 1,5.

Необходимый признак сходимости числового ряда

Необходимый признак сходимости числового ряда определяется теоремой.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член a_n стремится к нулю: (2).

Теорема дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, т.е. из условия (2) не следует, что ряд сходится.

В частности, гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· расходится, хотя для него выполняется условие (2).

Ряд называется положительным, если все члены ряда положительные.

Достаточными признаками сходимости положительного числового ряда являются признак сравнения рядов, признак Даламбера, признак Коши и интегральный признак Коши.

Признак сравнения рядов

Сходимость такого ряда устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом.

Если ряд , общие члены которого, сходится, то сходится также ряд (1).

Если ряд , общие члены которого, расходится, то расходится также ряд (1).

@ Задача 2. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение: По признаку сравнения рядов, так как ряд сходится, а также выполняется условие , следовательно, наш ряд тоже сходится.

@ Задача 3. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение: Согласно признаку сравнения т.к. , и гармонический ряд расходится, то приведенный ряд также расходится.

Признак Даламбера

Ряд сходится, если .

Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Даламбера целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или .

@ Задача 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: По признаку Даламбера , т.е. ряд сходится.

Признак Коши

Ряд сходится, если .

Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Коши целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида .

@ Задача 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: По признаку Коши , т.е. ряд сходится.