§3.8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка c постоянными коэффициентами – это уравнение y′′ + py′ + qy = 0 (7), где p и q – постоянные величины.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка имеет вид y = φ(x; c₁, c₂), где c₁, c₂ - некие постоянные величины.

Частное решение y = φ(x; c₁₀, c₂₀) получается из общего решения при выполнении начальных условий ,.

Общее решение уравнения (7) зависит от решений характеристического уравнения

k² + pk + q = 0.

Характеристическое уравнение получается из дифференциального уравнения (7) подстановкой функции .

1. Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения действительные и различные, то

.

2) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения действительные и равные, то

.

3) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения комплексные (k₁ = α + βi, k₂ = α – βi), то

.

@ Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: y′′ – 2y′ + y = 0.

Решение: Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения k² – 2k + 1 = 0 действительные и равны 1. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение , гдеp₁, p₂, …, p_n – постоянные величины.

1) Если все корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение имеет вид

.

2. Если все корни характеристического уравнения действительные, но не все различные (с кратностью m), то общее решение содержит частные решения ,, ….

3. Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней имеет кратность m, то решение содержит частные решения cosbx, xcosbx, … , cosbx, sinbx, xsinbx, … , sinbx.

@ Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение: Корни характеристического уравнения равны– 1; 1; 1 + 2i и 1 – 2i. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y′′ + py′ + qy = f(x),

где p и q – постоянные коэффициенты, f(x) - правая часть уравнения, имеющая специальный вид.

Общее решение дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения y_общ соответствующего однородного уравнения и частного решения y_ч неоднородного уравнения.

Рассмотрим случай, когда f(x) имеет специальный вид f(x) = P_n(x), гдеP_n(x) – многочлен степени n, a – действительное число. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется как

y_ч = x^rQ_n(x),

где r – число равное кратности a как корня характеристического уравнения k² + pk + q = 0, Q_n(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти.

@ Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение: Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет корни i и – i. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид y_общ = c₁cosx + c₂sinx. Корни характеристического уравнения не совпадает с a = 1, поэтому r = 0. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде y_ч = (Ax + B). Для нахожденияA и B это решение подставляется в неоднородное дифференциальное уравнение. Ax + 2A + B + Ax + B = 4x, откуда A = 2, B = – 2. Частное решение имеет вид y_ч = 2(x – 1)e^x. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно

y = c₁cosx + c₂sinx + 2(x – 1) e^x.

Рассмотрим случай, когда f(x) = (P_n(x)cosβx + Q_m(x)sinβx), где P_n(x) и Q_m(x) – многочлены степени n и m, α и β - действительные числа. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде

y_ч = x^r(M(x)cosβx + N(x)sinβx),

где M(x) и N(x) многочлены степени max(m, n).