§3.5. Предел и непрерывность функции

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = a, если соблюдаются следующие два условия:

1. при x = a функция имеет определенное значение b,

2. при x  a функция имеет предел, равный b.

При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в точке x = a.

Точка x = a называется точкой разрыва первого рода функции y = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева (b₁) и справа (b₂) (односторонние пределы). Величину b₁ – b₂ называют скачком функции.

Разрывная функция с точкой устранимого разрыва может стать непрерывной функцией, путем добавления значения f(x) = b в точке разрыва x = a. В приведенном примере – это значение f(0) = 1.

При b₁ ≠ b₂, точка x = a называется точкой конечного разрыва

Пример: ,b₁ – b₂ = 1.

При b₁ = b₂, точка x = a называется точкой устранимого разрыва

Пример: ,b₁ – b₂ = 1 – 1 = 0.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции y = f(x), если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

 Задача 1. Найти точку разрыва функции . Выяснить род разрыва.

Решение: x = 3 является точкой разрыва функции (функция не определена в этой точке). Левосторонний предел равен b₁ = – 1, а правосторонний предел - b₂ = 1, т.е. это означает, что мы имеем дело с точкой разрыва первого рода. Скачок равен b₁ – b₂ = 2.

Учитывая вышесказанное, можно дать следующее определение. Функция непрерывна в точке x = a, если она определена в этой точке и выполняется условие y  0 при x  0, т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция y = cosx непрерывна в произвольной точке x, т.к. cosx  0 при x  0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка, включая оба конца.

§3.6. Экстремумы функций нескольких переменных

Функция z = f(x, y) имеет максимум M (минимум m) в точке M₀(x₀ , y₀), если во всех близких к M₀(x₀ , y₀), точках функция f(x, y) меньше (больше) значения M(m).

Необходимое условие экстремума

Если функция f(x, y) имеет экстремум в точке M₀(x₀ , y₀), то в этой точке частные производные равны нулю f_x = 0 и f_y = 0. Точка M₀(x₀ , y₀) называется критической точкой или точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума

Обозначим через .

1. Если ,,, то функция в точке экстремума имеет минимум.

2. Если ,,, то функция в точке экстремума имеет максимум.

3. Если , то функция не имеет ни минимума, ни максимума.

4. Если B = 0, то функция может иметь экстремум или не иметь. Нужны дополнительные исследования, чтобы ответить на этот вопрос.

Разыскание максимума или минимума в критической точке можно осуществить и с помощью определения максимума и минимума. Для этого необходимо найти значение функции в критической точке и вблизи этой точки.

 Задача 1. Найти координаты экстремальных значений функции .

Решение: Из необходимого условия экстремума находится критическая точка (точка экстремума): f_x = x + y + 1= 0, f_y = x + 2y = 0, x₀ = – 2, y₀ = 1.

С помощью достаточного условия экстремума находятся минимум или максимум функции: ,,,. Функция в точке экстремума имеет минимум: f_min(– 2, 1) = – 1.

 Задача 2. Небольшая фирма производит два типа товара A и B и продает их по цене 1000 и 800 рублей, соответственно. Функция издержек (затрат) имеет вид C = 2Q₁² + 2Q₁Q₂ + Q₂², где Q₁ и Q₂ - объемы выпуска товаров A и B. Для каких значений Q₁ и Q₂ прибыль фирмы будет максимальной (задача оптимизации)?

Решение: Прибыль определяется как

П = R – C = 1000Q₁ + 800Q₂ – 2Q₁² – 2Q₁Q₂ – Q₂². Из необходимого условия экстремума находим Q₁ = 100, Q₂ = 300. П_max = П(100, 300) = 170000.

Условный экстремум функции

Экстремум функции f(x, y) называется условным, если переменные связаны между собой неким соотношением g(x, y) = 0.

Условный экстремум функции находится методом неопределенного множителя Лагранжа. Строится новая функция F(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y), где  – неопределенный множитель, который рассматривается как новая переменная и ищется экстремум F.

Экстремум функции находится из системы уравнений

.

 Задача 3. Найти условный экстремум функции f(x, y) = 2x² – 3xy – 10x при выполнении условия

g(x, y)  = 6 –2x – 3y = 0.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(x, y, l) = 2x² – 3xy – 10x + l(6 – 2x – 3y) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, x =2; y = 2/3; f(2, 2/3) = – 16.

 Задача 4. Найти условный максимум производственной функции Q = 4LK + L² при выполнении условия K + 2L = 105.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(K, L, l) = 4LK + L² + l(105 – K – 2L) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, L = 30; K = 45; Q_max = 6300.