Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))¢ = cf¢(x).

2. Производная суммы равна сумме производных:

(f(x) ± g(x))¢ = f¢(x) ± g¢(x).

3. Производная произведения равна

(f(x)g(x))¢ = f¢(x)g(x) + f(x)g¢(x).

4. Производная отношения равна

.

! Пример: Производная тригонометрической функции y = tgx равна

. (5)

Таким же образом находится производная функции сtgx:

. (6)

 Задача 1. Найти производную постоянной функции y = c.

Решение: Производную находим с помощью 1 свойства производной и формулы (1):

c¢ = c·1¢ = c·0 = 0.

 Задача 2. Найти производную функции

f(x) = (2x³ – 3x + 1)cosx и вычислить f¢(0).

Решение: При нахождении производной заданной функции применяются свойства производных и производные степенных и тригонометрических функций:

f¢(x) = (2x³ – 3x + 1)¢cosx + (2x³ – 3x + 1)(cosx)¢ =

= (6x² – 3)cosx – (2x³ – 3x + 1)sinx; f¢(0) = – 3.

Процедура нахождения производной называется дифференцированием. Механическое истолкование производной

Мгновенная скорость в механике определяется как предел отношения приращения перемещения к приращению времени приDt ® 0, т.е. v = S¢(t)

Таким образом, производная перемещения по времени в механике характеризует скорость движения тела. Это есть механическое истолкование производной.

Уравнение касательной

Производная линейной функции y = kx + b равна угловому коэффициенту k. Производная функции y = f(x) в любой точке равна угловому коэффициенту касательной функции в этой точке, т.е. производная характеризует скорость изменения функции. Это есть геометрическое истолкование производной (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Геометрическое истолкование производной

Производная применяется для нахождения уравнения y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x₀ :

y = f¢(x₀)x + b, f(x₀) = f¢(x₀)x₀ + b, b = – f¢(x₀)x₀ + f(x₀).

В итоге получается уравнение y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x₀ :

y = f(x₀) + f¢(x₀)(x – x₀).

 Задача 3. Найти уравнение касательной функции f(x) = x² в точке x₀ = – 1.

Решение: Находим f(x₀) = (– 1) ² = 1, потом f¢(x) = 2x и

f¢(–1) = 2(– 1) = –2, после чего y = 1 – 2(x + 1) = – 2x – 1.

Предельный анализ

Предельный анализ – это раздел экономики, где используется дифференциальное исчисление. Основные понятия предельного анализа, это предельный доход, предельные издержки, предельная производительность и т.д.

Предельный доход R¢(Q) – это изменение суммарного дохода при изменении объема реализации на единицу.

Предельные издержки C¢(Q) – это изменение полных издержек, при изменении объема продукции на единицу.

Предельная склонность к потреблению C¢(Y) – это производная потребления по национальному доходу.

§3.4. Предел последовательности и его свойства

Функция называется целочисленной или последовательностью, если область определения функции представляет собой множество натуральных чисел.

 Обозначения: Последовательности обозначаются как {a_n}, {y_n}, члены последовательности как – a_n, y_n.

Число b называется пределом последовательности {y_n}, если по мере возрастания n член y_n неограниченно приближается к значению b:

.

Символ lim от латинского слово «limes» - предел; символ n   подчеркивает, что n неограниченно возрастает («стремится к бесконечности»).

 Примеры: Члены последовательности по мере возрастанияn стремятся к нулю: y₁ = 1; y₂ = 0,5; y₃ = 0,33; y₄ = 0,25; ; y₁₀₀ = 0,01; ; y₁₀₀₀ = 0,001;  Следовательно, пределом последовательности является число 0:

. (1)

 Пример: Члены последовательности по мере возрастанияn стремятся к нулю, поэтому .(2)

 Пример: Предел постоянной величины c равен самой постоянной величине c (3).

Более строгое определение предела следующее.

Число b называется пределом последовательности {y_n}, если абсолютная величина разности y_n – b, начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее данного положительного числа : |y_n – b| <  при n  N (N зависит от величины ).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае, она расходящаяся.

Свойства пределов

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:.

3. Предел произведения равен произведению пределов: .

4. Предел отношения равен отношению пределов: , если.

Эти свойства справедливы не только для последовательностей, но и для функций y(x).

 Задача 1. Найти предел последовательности .

Решение: Предел последовательности находится, применяя второе свойство пределов и частные пределы (2) и (3):

.

Бесконечно большая величина

Бесконечно большой величиной называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

 Примеры: Величины n, n², n³ являются бесконечно большими величинами, при n  ; - приx  0, tgx - при x  /2: ;;.

Функция f(x) есть бесконечно большая величина при x  a, если абсолютное значение f(x) остается большим любого заранее данного положительного числа N, всякий раз как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа  (зависящего от N).

Бесконечно большая величина не имеет предела по определению, ибо никак нельзя сказать, что «разность между f(x) и  остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение беcконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.

Функция y_n называется бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с z_n, если предел их отношения .

Из этого свойства вытекает следующее правило. При вычислении пределов, содержащих сумму y_n и z_n, где функция y_n является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с z_n, функцию z_n можно пренебречь по сравнению с y_n.

 Задача 2. Найти предел последовательности .

Решение: Если непосредственной подстановкой n попытаться найти предел последовательности, то мы получим неопределенность вида . Здесь термин неопределенность применяется в том смысле, что сразу невозможно сказать к какому пределу стремится последовательность. Определение предела называется раскрытием неопределенности. В данном случае неопределенность можно раскрыть с учетом вышесказанного. Так как n² является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с n и 2, то последние члены в числителе можно пренебречь. То же самое относится и к знаменателю. Итак

.

Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящийся к a (x  a), если, по мере приближения x к a, значение функции неограниченно приближается (стремится) к b:

.

 Пример: Функция f(x) = 2x + 3 при x, стремящийся к a, f(x) стремится к 3, т.е. .

Более строгое определение предела следующее.

Число b называется пределом функции f(x) при x  a, если абсолютное значение разности f(x) – b остается меньшим любого заранее данного положительного числа  всякий раз, как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа  (зависящего от ).

Предполагается, что функция f(x) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a (во всех точках справа и слева от a), в самой же точке x = a f(x) либо определена, либо нет.

Если какая-либо функция не определена в точке x = a, но обладает пределом при x® a, то разыскивание этого предела называется раскрытием неопределенности. Раскрытие неопределенности вида называют разыскивание предела отношения функцийf(x) и g(x), бесконечно малых величины при x® a.

 Задача 3. Найти предел функции при.

Решение: Мы имеем дело с неопределенностью вида . Разложив квадратичные трехчлены числителя и знаменателя в множители, и применив свойства пределов, находим предел функции f(x):

.

 Задача 4. Найти предел функции при x  .

Решение: Мы имеем дело с неопределенностью типа  – .

.

Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется предел

.

Вторым замечательным пределом называется предел

или .

 Задача 5. Найти предел функции приx  0.

Решение: Предел находится применением первого замечательного предела и свойств пределов:

.

 Задача 6. Найти предел функции приx  0.

Решение: Предел находится применением второго замечательного предела:

,

где z = 2x.

Множество применений имеют также следующие пределы

; ;.

Бесконечно малая величина

Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.

 Примеры: Величины x, x², x³, sinx, 1 – cosx, tgx являются бесконечно малыми величинами, при x  0; величины ,являются бесконечно малыми величинами, приn  : ;;;.

Бесконечно малые величины обозначаются буквами ,  и т.д.

Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.

 Пример: x, sinx и tgx являются эквивалентными x  0.

Из свойства эквивалентности вытекает следующее правило при раскрытии неопределенностей. Под пределом одну эквивалентную величину можно заменить другой эквивалентной величиной.

Например, sinx и tgx можно заменить на x, sin2x и tg2x - на 2x, ln(1 + 3x) - на 3x и т.д x  0.

Если отношение / двух бесконечно малых величин само бесконечно мало, то называется величиной высшего порядка малости относительно.

 Пример: x² является бесконечно малой высшего порядка малости относительно бесконечно малой x при x  0.

Если y – бесконечно большая величина, то – бесконечно малая и наоборот.

 Задача 7. Найти предел функции приx  0.

Решение: Предел находится применением свойств бесконечно малых величин:

.