2.3 Применение классических критериев

Рассмотрим следующий пример3.Пусть некоторый объект надо подвергнуть проверке с приостановкой его эксплуатации. Из-за этого приостанавливается выпуск продукции. Если же своевременно не обнаружить неисправность, то это приведет не только к приостановке работы, но и к поломке.

Варианты решения: Х₁ - полная проверка;

Х₂ - минимальная проверка;

Х₃ - отказ от проверки.

Состояния _j:₁ - неисправностей нет;

₂ - имеется незначительная неисправность;

₃ - имеется серьезная неисправность.

Результаты f_ijвключают:

1) затраты на проверки и устранение неисправностей;

2) затраты, связанные с потерями в выпуске продукции и с поломкой.

Рассмотрим минимаксный (ММ), критерий Сэвиджа (S) и BL-критерии. Для последнего критерия примем, что все состояния в данном примере равновероятны (p₁=p₂=p₃=1/3).

Таблица 6

Матрица результатов для примера 3

	1	2	3		Zmm
Х1	-20	-22	-25	-25	-25	-22.33
Х2	-14	-23	-31	-31		-22.67
Х3	0	-24	-40	-40		-21.33	-21.33

Рассмотрим S-критерий:

Таблица 7

Матрица остатков для примера 3

	1	2	3
Х1	20	0	0	20
Х2	14	1	6	14	14
Х3	0	2	15	15

Как видим, каждый критерий предлагает свое решение. Чтобы выбрать, какому же критерию следовать, лучше всего получить дополнительную информацию о ситуации.

Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться критерия BL(есть хоть какая-то информация о внешних условиях).

Если же число реализаций невелико, то больший вес принимают более осторожные рекомендации критерия Сэвиджа (S) или минимаксного (ММ).

Пусть p₁=p₂, аp₃=0.5 (серьезная неисправность в 2 раза чаще), тогда дляBL:

f_ir=(-23, -25, -26) иBLтоже рекомендуетполную проверку(Х₁).

В рассмотренных случаях нельзя выделить доминирующий вариант, для которого при всех внешних условиях результаты лучше, чем для других. Поэтому в каждом частном случае следует очень тщательно обосновывать позицию лица, принимающего решение.

2.4 Производные критерии

Критерий Гурвица (HW)

Критерий используется в условиях полной неопределенности. Это позиция компромисса, но максимально уравновешенная: ,

, 0с1,

Правило выбора:Матрица решенийдополняется столбцом, содержащим

средневзвешенную сумму наименьшего и наибольшего результатов для любой строки. Выбираются те варианты, где стоят наибольшие значения f_irэтого столбца.

При с=1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий и отражает позицию крайнего пессимизма, при с=0 - позиция предельного оптимизма, или азартного игрока.

Выбрать множитель стак же трудно, как и сам критерий. Поэтому чаще всего применяют с=0.5 (средняя точка зрения). Однако следующий пример показывает, что этот критерий может оказаться невыгодным:

Таблица 8

Матрица решений для HW-критерия

	1	2		n	fir
Х1	10000	1		1	10001
Х2	9999	9999		0.99	9999.99

В этом примере критерий Гурвица предлагает выбрать первую альтернативу, хотя анализ матрицы решений рекомендует использовать точку зрения позиции нейтралитета и выбрать альтернативу Х₂.

Таким образом, HWиспользуется, если:

- о вероятностях появления событий _j ничего не известно;

- реализуется малое количество решений;

- допускается некоторый риск.

Критерий Гермейера (G)

Этот критерий ориентирован на величины потерь, т. е. на отрицательные значения всех f_ij:

, .

Правило выбора:Матрица решенийдополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результатаf_ijна вероятность соответствующего состояния_j.

Выбираются те варианты, где стоит максимальное значение этого столбца, т. е. критерий Gобобщает ММ.

При p_j=1/n, эти критерии идентичны.

Критерий G применяется, если:

• вероятности появления _jизвестны;

• результаты f_ij отрицательны;

- необходимо считаться с появлением различных событий;

- допускается некоторый риск;

- решения могут реализоваться один или много раз.

Если вероятности p_jизвестны не очень надежно, а число реализаций мало, то поG-критерию получают неоправданно большой риск.

Мы видим, что при выборе критериев и обосновании позиции имеется свобода для субъективных действий, заключающаяся в выборе позиции ЛПР. Однако, если выбранная альтернатива достаточно устойчива для широкого диапазона позиций ЛПР, то и надежность данного выбора больше.

Если же ситуация неустойчива, т.е. разным позициям ЛПР соответствуют разные альтернативы, то выход один – искать дополнительную информацию о ситуации. Если выбор был сделан в условиях полной неопределенности, то следующий уровень информированности – информация о вероятностях наступления тех или иных внешних условий _j. Если же известны вероятности, то постановка специальных экспериментов может привести либо к точному знанию, какое именно внешнее условие наступит, либо к косвенным свидетельствам в пользу того или иного условия.

5. Планирование эксперимента в условиях неопределенности

Принимая решения в условиях неполной информации, можно попытаться дополнить имеющуюся информацию путем проведения дополнительных экспериментов.

Когда речь идет о выводах из экспериментов, об их планировании и обработке, мы имеем дело с методами теории статистических решений.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть предстоит принять решение в недостаточно выясненных условиях. Имеет ли смысл для уточнения условий в данной неопределенной ситуации предпринять некоторый эксперимент? Естественно, этот вопрос возникает только тогда, когда затраты на эксперимент существенны и сравнимы с тем увеличением выигрыша, которое можно получить, узнав обстановку более точно. Если же затраты на эксперимент пренебрежимо малы, ответ на этот вопрос всегда положителен.

Идеальный эксперимент

Рассмотрим сначала случай “идеального” эксперимента, приводящего к совершенноточному знаниютого состоянияα_j,которое имеет место в данной ситуации.

Пусть задана матрица выигрышей f_ij, , , и известны вероятностиp(_j)=p_j.

Обозначим затраты на проведение эксперимента cost.

Сравним средний выигрыш без проведения экспериментаи средний выигрышс проведением этого эксперимента.

Без проведенияэкспериментамы имеем средний выигрыш:

(1)

Теперь предположим, что провели эксперимент и выяснили, какое из состояний α_jявляется действительным внешним состоянием.

Если это оказалось ₁, то мы должны выбрать стратегию, где достигается.

Здесь _j- максимальное значениеj-го столбца.

И вообще, при _jвыигрыш будет равен максимальному результату вj-ом столбце, т.е._j.

Но нужно заранее решить, следует проводить эксперимент или нет. Поэтому выигрыш (абсолютный) =.

С учетом стоимости эксперимента (которую надо вычесть из выигрыша) средний выигрыш с проведением идеального эксперимента равен

(2)

Итак, мы должны проводить эксперимент, если величина (2) больше, чем (1), иначе эксперимент не нужен, т.е.

>. (3)

Проведем некоторые преобразования. Перепишем неравенство (3) в другом виде:

сost<для любогоi,

или сost<.

Другими словами, эксперимент  нужно проводить, если затраты на его проведениеменьше минимального среднего риска

сost<.