4.7 Решение игр mxn

Пусть необходимо найти смешанные стратегии: 1-го игрока Р=(р₁, р₂, …, р_m) и 2-го игрока - Q=(q₁, q₂, …, q_n), причем Σp_i=1, Σq_j=1.

Найдем сначала оптимальную стратегию Р. Она должна обеспечить выигрыш, не меньший ν при любой стратегии противника, и = ν при его оптимальном поведении Q. Пусть ν>0. Чтобы это выполнялось, достаточно, чтобы все элементы матрицы a_ij >0. В противном случае можно прибавить ко всем элементам матрицы А достаточно большое число М, тогда цена игры увеличится на М, а вероятности останутся теми же.

для любогоj. Введем обозначения: x_i=p_i/ν, тогда

,,

выбор должен быть максимально возможным, следовательно, 1/ν принимает минимальное значение. Таким образом, .

Найдем теперь оптимальную стратегию 2-го игрока. Все аналогично решению игры для первого игрока, только второй игрок стремится не максимизировать, а минимизировать свой проигрыш ν, а значит, максимизировать величину 1/ν.

Поскольку стремление к цене игры ν выгодно 2-му игроку, то он проиграет не больше ν при любой стратегии 1-го игрока.

для любогоi. Заменим y_j=q_j/ν, тогда

, а т.к. Σq_j=1, то Σy_j=1/ν. Требуется так выбрать переменные y_j, чтобы максимизировать функцию , или, что то же самое, минимизировать функциюL’=-L: _.

4.7 Симметричные игры

Рассмотрим один частный класс игр.

Опр. Квадратная матрица А={a_ij}называется кососимметричной, если a_ij=-a_ji для любого i.

Th. Значение симметричной игры равно нулю. Кроме того, если х – оптимальная стратегия первого игрока, то х также оптимальная стратегия для второго.

Пример.

р1

р2

р3

По теореме =0; а т.к. P=Q, то найдем P.

Средний выигрыш 1-го игрока при любой стратегии 2-го

-р₂+2р₃=0 → р₂₌2р₃

р₁ -3р₃=0 → р₁ =3р₃

-2р₁+3р₂ =0

р₁+ р₂+ р₃=1

2р₃ +3р₃ +р₃=1

6р₃=1; р₃=1/6; р₂=1/3; р₁=1/2

P=Q=(1/2; 1/3; 1/6)

4.8 Биматричные игры

Если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

• не всегда выигрыши игроков противоположны, т.е. f₁=-f₂;

• интересы сторон даже с двумя участниками не обязательно противоположны,

существует хотя бы одна ситуация, когда интересы игроков близки;

• различие в оценках ситуации оставляет место для соглашений, договоров и кооперации;

• для ЛПР цена игры имеет незначительную ценность, ,он готов на использование дополнительных стратегических возможностей, чтобы получить больше, чем гарантированный результат, -

следует перейти к другой форме игры – биматричной.

Биматричная игра– это конечная игра двух лиц с ненулевой суммой

Выигрыши игроков определяются следующими матрицами:

А=- матрица выигрышей первого игрока, илиа_ij,

В=b_ij - матрица выигрышей второго игрока.

Решение игры будем искать, ориентируясь на следующую логику. С точки зрения первого игрока его средний выигрыш (матрица А) должен быть больше или равен среднему выигрышу второго игрока при любой стратегии 2-го.

Средний выигрыш первого игрока: М₁=,

Средний выигрыш второго игрока: М₂=,

 b_ij p_i   b_ij p_i q_j ,  p_i=1

 a_ij q_j   a_ij p_i q_j ,  q_j=1, для любых i, j.

В случае, когда матрицы выигрышей имеют размерность 2х2, биматричную игру можно свести к решению двух матричных.

Пример. Заданы две матрицы игры: А=,В=

p₁= ==; p₂= ==  =

р₁=; р₂=

Матрица В решается с точки зрения первого игрока, т.к. целью второго является также выиграть как можно больше:

q₁= =; q₂= =  =; q₁=; q₂=

Ответ: Р=(;); ₁=; Q=(;); ₂=.

Это решение выгодно обоим игрокам, т.к. их гарантированные результаты: (-1) – для первого и (-1) – для второго.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

2. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир.-1990.

3. Т.Саати. Аналитическое планирование. Мир, 1989.

4. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. – М.: Логос, 2000.

5. Вагнер Г. Основы исследования операций (т.1,2,3). – М.: Мир, 1973.

6. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. – М.: Радио и связь, 1992.

69