4.6 Решение игр 2n и m2

Игры, где хотя бы у одного игрока две стратегии, можно решить аналитически. Если второй игрок имеет больше двух стратегий, то игра решается графо-аналитическим способом.

Рассмотрим игру 2n: у первого игрока 2 стратегии, у второго игрока -nстратегий. Если в игре нет седловой точки, то будем искать решение игры в смешанных стратегиях.Решаем игру с точки зрения того игрока, у которого две стратегии.

Пусть Р=(р₁, р₂) – смешанная стратегия 1-го игрока,p₁+p₂=1;

Q= (q₁, q₂, , q_n)– смешанная стратегия 2-го игрока.

Матрица игры . Рассмотрим средний выигрыш первого игрока (у него две стратегии):

₁=a₁₁ p₁+a₂₁ p₂= a₂₁+(a₁₁-a₂₁)p₁ - при первой стратегииIIигрока,

₂ = a₁₂ p₁+a₂₂ p₂=a₂₂+(a₁₂-a₂₂)p₁ - при второй стратегииIIигрока и т.д.

Гарантированный результат первого игрока =max min{a_2j+(a_1j –a_2j)p₁}.

Линейные функции ₁, ₂,…,_nотражают зависимость среднего выигрыша первого игрока от вероятности применения им своей первой стратегии при различных стратегиях второго игрока. Поэтому для анализа ситуации необходимо изобразить их графически в осях_I –p₁, имея в виду, чтообластью определения функций ₁, ₂,…,_nявляется интервал[0,1].

Чтобы обеспечить себе гарантированный результат, первый игрок должен выделить нижнюю границусреднего выигрыша при любой стратегии второго игрока. А затем найтимаксимальное значение среднего результатана этой границе. Соответствующая абсцисса равна вероятности применения первым игроком его первой стратегии, а ордината равна цене игры.

Чтобы найти оптимальные стратегии второго игрока, оставим в первоначальной матрице только те стратегии второго игрока, которые образуют точку пересечения (p₁,). Остальные стратегииIIигрока будут неактивными, т.к. значения среднего проигрыша в точке р₁для других стратегий (прямые_i) лежат выше. Полученную матрицу 2х2 решим любым удобным способом и найдем вероятности (q₁,q₂). Рассмотрим пример.

Пример. Решить игру:А=.

В этой игре =1,=3. Будем решать ее с точки зренияIигрока.

₁=2р₁+4р₂=2р₁+4(1-р₁)=4-2р₁

₂=3р₁+р₂=1+2р₁

₃= р₁+6р₂=6-5р₁

₄=5р₁+0р₂=5р₁

На рис.3.1 изображены графики линейных функций _i. Их область определения – интервал (0,1). Следуя процедуре, отметим нижнюю границу семейства прямых (выделена красным цветом).



6. ₄

4

 ₂

₁

₃

0 р^*₁ 1 р₁

Рис. 3.1. Средний выигрыш I игрока.

Верхняя точка границы образована пересечением прямых ₃ и ₂ , т.е.(р^*₁, )₃ ₂. Координаты точки пересечения найдем из равенства1+2р₁=6-5р_1,

Отсюда 7р₁=5 и р^*₁=, р₂=  =1+ 2*=.

Для 2-го игрока стратегии y₁ и y₄ – неактивные, т.к. не используются в смешанной стратегии. Тогда смешанную стратегию второго игрока найдем из

q₁= == Q= (0;;;0).

Ответ: P=(5/7;2/7), =17/7; Q=(0;5/7;2/7;0).

Рассмотрим игру m2 – у 1-го игрока m стратегий, у 2-го игрока – 2 стратегии.

Решаем с точки зрения того игрока, который имеет 2 стратегии – с точки зрения второго.

Р= (р₁,, р_m) – смешанная стратегия 1-го игрока

Q= (q₁, q₂)– смешанная стратегия 2-го игрока

q₁, q₂

Матрица игры:

.

Средний проигрыш 2-го игрока:

₁= a₁₁ q₁+a₁₂ q₂=a₁₁+(a₁₁-a₁₂)q₁;

…

_m= a_m1 q₁+a_m2 q₂=a_m1+(a_m1-a_m2)q₁.

Решаем, как и в первом случае, графически. Гарантированный результат второго игрока

.

Поэтому в семействе прямых, описывающих средний проигрыш 2 игрока, отмечаем верхнюю границу и выбираем на ней самую нижнюю точку. Ее координаты определяют искомую вероятность q₁ и цену игры . Тогда активными стратегиями первого игрока будут те, которые соответствуют прямым, образующим точку пересечения (q₁,). Оптимальные стратегии первого игрока определим из матрицы 2х2.

Пример. Решить матрицу игры: А=

Средний проигрыш второго игрока зависит от вероятности q₁:

₁=4q₁+2q₂=4q₁+2(1-q₁)=2+2q₁- припервойстратегии 1 игрока,

₂=2q₁+5q₂=5-3q₁ - привторойстратегии 1 игрока,

₃=3q₁+4q₂=4-q₁ - притретьейстратегии 1 игрока.

5

4. ₁

 ₃

2 ₂

0 q^*₁ 1 q₁

Рис. Графическое решение игры

Верхняя граница семейства прямых выделена жирной линией. Искомая точка образована пересечением прямых ₁ и ₃: (q^*₁, )  ₁ ₃  2+2q₁=4-q₁, 3q₁=2.

q^*₁=, q₂=  =2+ 2*=.

Оптимальную стратегию первого игрока найдем из матрицы A=:

A^T=  p₁= == P= (; 0;).

Ответ: Q=(2/3; 1/3), =10/3, P=(1/3; 0; 2/3).

Смешанная стратегия игрока в разных случаях имеет разный смысл. Иногда конфликт должен быть разрешен всего за один ход противников. Например, решение строить в регионе крупное производство или размещение заказа на разных предприятиях, или установление цены на продукцию, или оснащение производства современным оборудованием, или ведение боевых действий с применением разных стратегий и т.д.

Далеко не всегда игры имеют размерность, допускающую аналитическое решение. Как правило, размерность задачи больше 2-х.

В этом случае решение игр возможно путем сведение ее к задаче линейного программирования.