Простейший метод

Пусть, как и в предыдущем случае, задана система контрольных показателей {f_i^*} таких, чтоf_if_i^*. И пусть среди заданных критериев можно выбрать один–главный–критерий, назовем егоf₁ – главный критерий. Тогда МКЗ сводится к однокритериальной задачеf₁(x)max_хпри ограниченияхf_i(x)f_i^*.

Вернемся к последнему примеру. В поле полезности, ограниченном контрольными показателями, осталось две альтернативы–2и3. Если в качестве главного выбрать первый критерий, то наилучшей будет альтернатива3, если главный второй критерий, то наилучшая альтернатива–вторая (рис. 6).

Введение метрики в пространстве целевых функций

Как известно, самой лучшей точкой в критериальном пространстве является точка УТ–утопическая точка с координатами {f_i^max}, где–решенияnоднокритериальных задач. Чем ближе рассматриваемая альтернатива к УТ, тем она лучше.

Введем понятие расстояния h(x) от альтернативы х до УТ:

,

тогда наилучшей альтернативой будет та, расстояние от которой до точки УТ наименьшее:

.

В данном случае роль интегрального критерия играет расстояние от рассматриваемой альтернативы до утопической точки.

Вернемся опять к примеру (рис.7). Расстояниеh(x)определяет длину прямой, соединяющей альтернативухс УТ.

f₂ 1(2;6)

6  УТ (6;6)

1 4(6;1)

АУТ (2;1)

2 6 f₁

Рис. 7 – Введение метрики

Посчитаем расстояния для каждой альтернативы:

h(x₁)==4,

h(x₂)==,

h(x₃)=(6-5)²+(6-3)²=,

h(x₄)==5.

Минимальное расстояние –длятретьейальтернативы, она и будет наилучшей с точки зрения используемого интегрального критерия.

Данный метод практически не имеет ограничений в применении, не требует преобразования координат и может использоваться в задачах произвольной размерности.

5. Свертка

Мы рассмотрели ситуации, в которых все критерии были одинаково важными. При решении практических задач ЛПР, как правило, ранжирует критерии в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае в качестве интегрального критерия используются различные виды сверток

,–линейная свертка,

здесь x– альтернатива из множества;

f_i (x) – оценка альтернативыxпоi-му критерию;

с_i– весовые коэффициенты, с которыми оценки альтернатив входят в интегральный критерий. с_i – коэффициенты значимости, или коэффициенты относительной важности критериев.

Коэффициенты с_i можно найти, например, из специально организованной экспертизы:mэкспертов должны расставить (ранжировать) критерии по важности: ранг 1 присвоить самому важному критерию и т.д. Пустьr_ij– ранг, который присвоилj-ый экпертi-му критерию. Чтобы получить числовую оценку, введем новый коэффициент

.

Тогда коэффициент значимости i-го критерия с точки зренияj-го эксперта:

.

Обобщенные коэффициенты получим, усреднив оценки экспертов.

Пусть g_j– компетентностьj-го эксперта, тогда

.

Еще один метод назначения коэффициентов относительной важности основан на внесении предпочтений во множество критериев. Он состоит в следующем.

Пусть удается количественно выразить отношения предпочтения между критериями: критерий f_iпредпочтительнее критерияf_j вhраз:. Тогда коэффициенты относительной важности этих критериев связаны между собой линейным уравнениемC_i=hC_j. Это следует из теоремы:

Th.Если, тоC_i=hC_j,C_i>0,C_i=1.

Решая систему линейных уравнений, получим искомые коэффициенты.

Пример.Пусть варианты некоторой системы оцениваются по четырем критериям с пятибалльной шкалой. Значения критериев f_i(х) даны в табл.13.

Пусть известно, что ,f₂f₃,.

Решение. Составим систему линейных уравнений для определения коэффициентовC_i:

C₁=1,5C₂;C₂=C₃;C₃=C₄;C₁+C₂+C₃+C₄=1;

Отсюда следует, что C₁=3/8;C₂=2/8;C₃=2/8;C₄=1/8.

В табл. 13 приведены значения интегрального критерия «Линейная свертка».

Таблица 13

Оценки вариантов по критериям

	f1 f2 f3 f4
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6	2 5 4 5 5 3 4 3 3 2 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 3 3 4	3/8*2+2/8*5+2/8*4+1/8*5=29/8 32/8 28/8 30/8 29/8 28/8

По этому критерию лучшая альтернатива – Х₂.

Задачи, в которых выполняются условия для использования линейной свертки, часто встречаются в практике. Это задачи, связанные с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цикла экономических информационных систем и т. п., т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой.

Свертка может быть не только линейной, но иквадратичной:

,

сверткой порядка t:

,

Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других. Чем больше значение t, тем больше степень возможной компенсации.

Например, при , т.е. когда недопустима никакая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев (равномерное «подтягивание» значение всех критериев к их наилучшему уровню), интегральный критерий приобретает вид

.

Если t→0, т.е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то интегральный критерий имеет вид

–мультипликативная функция.

При t=1 имеем линейную свертку, при t=2 – квадратичную.

В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима компенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, т.е. , тогда интегральный критерий можно использовать в виде

.

Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей ту альтернативу, для которой F(x) имеет максимальное значение.

Замечание. Входящие в интегральный критерий целевые функции имеют разную размерность и выражены в разных шкалах. Поэтому необходимо предварительно выразить все оценки в одной однородной шкале. Целесообразно использовать для этого следующий прием

,

где f_i^*(x) – оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале, f_i^max и f_i^min – максимальное и минимальное значения альтернатив по i-му критерию. Полученные оценки принадлежат отрезку [0;1] и являются дробными, что не всегда удобно для расчетов. Поэтому можно, умножив все оценки по соответствующим критериям на наименьшее общее кратное, перейти в целочисленную шкалу. Сдвиг по шкале на общую для каждого из критериев величину позволит избавиться от отрицательных оценок.

3. Метод многокритериальной полезности альтернатив

(Multi-Attribute Utility Theory – MAUT)

Используетсяпри возможном структурировании системы целей, представлении ее в виде иерархии.

Идея – оценить полезность каждой альтернативы с точки зрения достижения глобальной цели.

Первоначально цель выбора сформулирована, как правило, в виде ориентира: «Выбрать…», «Купить…», «Получить …», «Достичь …»… Чтобы уточнить цель-ориентир, вводятся подуровни цели, разъясняющие ее смысл. Каждый из подуровней имеет с точки зрения ЛПР разную значимость. Подуровни, в свою очередь, могут уточняться с помощью целевых функций, имеющих определенное направление. Целевые функции уже подразумевают количественные оценки.

Идея метода состоит в том, чтобы, представив задачу выбора в виде иерархии целей и сформировав исходное множество альтернатив, имеющих частные оценки по каждой из целевых функций, оценить полезность каждой альтернативы с точки зрения достижения глобальной цели. Ту альтернативу, общая полезность которой максимальна, следует выбрать в качестве лучшей.

Алгоритм метода состоит в следующем:

• оцениваются коэффициенты относительной важности критериев;

• оценивается частичная полезность каждой альтернативы по отношению к соответствующему критерию;

• оценивается общая полезность каждой альтернативы по отношению к главной цели.

Замечание. При назначении коэффициентов относительной важности критериев следует выполнять требование равенства единице суммы коэффициентов относительной важности критериев одного уровня по отношению к вышестоящему критерию.

При оценке частичной полезности альтернатив необходимо все частные оценки по критериям перевести в однородную шкалу.

Общая полезность альтернативы вычисляется с учетом коэффициентов важности соответствующих критериев.

Рассмотрим метод на примере Выбор местоположения будущего предприятия (ВМБП).

Итак, цель-ориентир – Выбор местоположения. Данная цель уточняется с помощью факторов следующего уровня (подцели): земельный участок (ЗУ), персонал (П), материальные ресурсы и транспорт (МРиТ), влияние государства (ВГ).

Критерии (целевые функции третьего уровня) конкретизируют каждую подцель второго уровня иерархии: для ЗУ – его размер (РЗУ), цена (ЦЗУ), расходы на освоение (РО); для персонала П – его потенциал (ПП) и конкуренция (КР) на рынке рабочей силы; для МРиТ – транспортная инфраструктура (ТИ) и виды транспортно-экспедиторских фирм (ТЭФ), потенциал поставщиков (ППс) и предложение банковских услуг (ПБУ); для ВГ – меры стимулирования (МС) и ставка налога на деятельность (СНД).

Имеется 3 альтернативы – А, Б, В.

На рис. 8 представлена соответствующая иерархия целей.

Рис. 8. Иерархия целей

Определение показателей частичной полезности альтернатив покажем на примере критерия «Размер земельного участка».

Пусть рассматриваемые альтернативы имеют следующие значения РЗУ (тыс. м²):

А1 – 60, А2 – 42,5, А3 – 35. Для преобразования исходных оценок в однородную шкалу (показатели частичной полезности) можно применить кусочно-постоянные функции (рис.9). По оси х откладываем оценки по критерию, а по оси у – интервал (0;1), оба интервала делим на 5 равных частей.

Рис.9. Функция преобразования в однородную шкалу

Согласно этому преобразованию максимальная оценка по критерию (60) получит оценку 1, минимальная (35) – оценку 0. Значение 42,5 принадлежит интервалу [40; 45], где значение функции преобразования равно 0,2.

Таким образом, А1(60)→А1(1); А2(42,5) )→А2(0,2); А3(35)→А3(0).

Частичные полезности альтернатив следует взять с весовыми коэффициентами, соответствующими вышестоящим критериям и подуровням, ведущим к цели, т.е. полезность альтернативы А1 по критерию РЗУ равна 1*0,3*0,2=0,06; полезность альтернативы А2 – 0,2*0,3*0,2=0,012.

Следует помнить, что если критерий направлен в min, то соответствующие оценки надо взять с противоположными знаками.

Чтобы оценить общую полезность альтернативы для достижения цели, необходимо сложить отдельные полезности данной альтернативы по всем критериям. Лучшей будет та альтернатива, полезность которой больше.

Таким образом, в решении МКЗ присутствуют не только формальные, но и малоформализованные процедуры. Из-за субъективизма в выборе интегрального критерия мы получаем решение, оптимальное только в смысле используемого критерия. Поэтому к выбору интегрального критерия необходимо подходить обоснованно.