3.3 Построение интегрального критерия

Вторым шагом в решении МКЗ является построение некоторого интегрального критерия, позволяющего выбирать наилучшую альтернативу, рассматривая не n критериев (f₁, f₂,  fn), а один –F(x). Этот критерий определяет некоторый компромисс между заданными критериями, и выбранная альтернатива будет оптимальной в смысле этого интегрального критерия.Его роль–поставить в соответствие каждой альтернативе только одно число.

Итак, задача ПР имеет следующий вид

{,{f_i}_m,{,}}, причем отношения предпочтения и эквивалентности задаются не только на множестве альтернатив, но и на множестве критериев.

Существуют различные методы нахождения компромисса в МКЗ. Рассмотрим подробнее некоторые из них.

Метод арбитражных решений, или метод Нэша

Все альтернативы из множества Парето, будучи несравнимыми, являются в этом смысле решениями МКЗ, но, как было отмечено ранее, основным недостатком таких решений является их множественность. Поэтому возникает вопрос: а нельзя ли выбрать из них одно, наилучшее в некотором смысле (арбитражное) решение?

Такой метод был предложен Дж. Нэшем, и состоит он в следующем:

Рассмотрим в поле полезности множества Парето антиутопическую точку f⁰, которая имеет координаты{f_i^min},где- минимально возможная оценка альтернатив поi–му критерию; и рассмотрим произведениеразностей координат альтернативыxи точкиАУТ. В качестве наилучшей выберем ту, для которой это произведение максимально:

F(x)=.

Пример.Множество Парето состоит из 4 точек (см. рис.5): х₁(2;6), х₂(3;4), х₃(5;2), х₄(6;1). ТочкаАУТв поле полезности решений имеет координаты (2;1).

Найдем значения арбитражного критериядля каждой альтернативы:

для точки 1:F(x₁)=(2-2)(6-1)=0

для точки 2:F(x₂)=(3-2)(4-1)=3

для точки 3:F(x₃)=(5-2)(3-1)=6max

для точки 4:F(x₄)=(6-2)(1-1)=0.

Максимальное значение критерия, равное 6, у альтернативы x₃ - она и будет оптимальной с точки зрениякритерия Нэша.

1(2;6)

6 

1 4(6;1)

АУТ (2;1)

2 6

Рис. 5 – К методу Нэша

Замечание: Использование критерия Нэша может быть неэффективным при большом числе критериев.

Использование контрольных показателей

Если множество Парето содержит большое число альтернатив, то ЛПР может искусственно уменьшить границы поля полезности и не рассматривать альтернативы, у которых по отдельным критериям слишком низкие оценки. Для этого вводится система некоторых ограничений.

Пусть задана система нормативных показателей {f_i^*}_n, таких, чтоf_i(x)f_i^*, т.е. для каждого критерия задана точная нижняя грань, начиная с которой альтернатива может входить в область допустимых решений.

Тогда для каждой критериальной оценки альтернативы хвычислим отношение, т.е. оценим, насколько далеко от допустимой границы находится данная альтернатива по каждому из критериев. Выберем в качестве интегрального критерия минимальное отношение–. Наилучшей будет та альтернатива, для которой это отношение максимально:

.

Пример. Для альтернатив из предыдущего примера возьмем следующие контрольные показатели (ограничения): f₁^*=3; f₂^*=2. Тогда поле полезности решений изменится (пунктирные линии на рис.6), уменьшится и количество альтернатив - уйдут точки1и4. Для оставшихся альтернатив построим интегральную оценку:

Наилучшей в смысле критерия контрольных показателей будет третья альтернатива.

Следует заметить, что данный метод нельзя применять, если среди оценок есть отрицательные или среди ограничений – нулевые значения. Поскольку для принятия решения важно относительное расположение альтернатив, а не их абсолютные оценки, то это замечание можно обойти следующим образом: сдвинуть те оси, где есть отрицательные оценки, на величину │М+1│, где │М│ - максимальное по модулю значение отрицательной оценки по данному критерию. Однако такое преобразование изменит координаты утопической и антиутопической точек, что необходимо учесть при использовании других методов.

f₂1(2;6)

6 

1 4(6;1)

АУТ (2;1) f₁

2 6

Рис. 6 – К методу контрольных показателей