Графо-аналитический метод
Линейные функции 1, 2,…, n отражают зависимость
среднего выигрыша 1-го игрока от вероятности р1
при различных стратегиях 2-го игрока. Для анализа ситуации необходимо изобразит
их графически в осях 1–p1, имея в виду, что
областью определения функций 1, 2,…, n является интервал [0,1]
Гарантированный результат первого игрока
ν= max min{a2j+(a1j – a2j)p1}
i j
Чтобы обеспечить себе гарантированный результат,
первый игрок должен выделить
нижнюю границу среднего выигрыша
при любой стратегии второго
игрока,
а затем найти максимальное значение среднего результата на этой границе
Решение игры
Соответствующая абсцисса равна вероятности применения первым игроком
его первой стратегии, а ордината равна цене игры
Пример
Решить игру |
А= p1 |
|
2 |
3 |
1 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p2 |
|
4 |
1 |
6 |
0 |
|
=1, |
|
|
|
|
|
|||||
=3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решаем ее с точки зрения I |
|
|
|
|
|
|||||
игрока
1=2р1+4р2=2р1+4(1-р1)=4-2р12=3р1+р2=1+2р13= р1+6р2=6-5р14=5р1+0р2=5р1
Решение игры
6
5
4
3
2
1
0
4
2
13
0 |
Р1* |
1 |
р1 |
Верхняя точка границы
образована пересечением прямых 3 и
2
(р1*, ) 3 2.
Координаты точки пересечения найдем из равенства 1+2р1=6-5р1,
Отсюда 7р1=5 и
р1*= |
5 |
, р2= |
2 |
|
7 |
7 |
|||
|
|
|
|
=1+ 2*5/7=17/7 |
Для 2-го игрока
стратегии y1 и y4 – неактивные, т.к. не используются в смешанной стратегии.
Тогда смешанную стратегию второго игрока
найдем из |
|
|
1 |
|
|
5 |
5 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
q1= |
|
|
|
|
= |
= |
7 |
|
||
|
17 |
|||||||||
|
|
|
|
|
17 |
|
||||
Q= (0; 5 |
; |
2;0). |
|
|
|
|||||
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: P=(5/7; 2/7), =17/7; Q=(0; 5/7; 2/7; 0).
Решение игр m 2
У 1-го игрока m стратегий, у 2-го игрока – 2 стратегии
Матрица игры |
a |
a |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
||
Решаем с точки зрения того игрока, который имеет 2 стратегии, т.е. второго.
Р= (р1, , рm) – смешанная стратегия 1-го игрока
Q= (q1, q2) – смешанная стратегия 2-го игрока