Методы / Мышев А.В. (ч.1)

Еще одна команда, относящаяся к вычитанию, называется изменением знака (NEGate) и обычно имеет мнемонику NEG. По существу она эквивалентна вычитанию из нуля значения своего единственного операнда. При использовании дополнительного кода эта команда может вызвать особый случай (обычно интерпретируемый как перевыполнение), когда ее операнд имеет вид 100 ...00. Такое отрицательное число – 2n-1 не имеет равного по абсолютному значению положительного числа.

К вычитанию обычно относится и двухоперандная команда сравнения (СОМраге) с мнемоникой СМР и СОМ. В этой команде допускается такая же спецификация операндов, как и в команде вычитания, и она повторяет все действия команды вычитания, за исключением одного – результат вычитания не замещает уменьшаемое и вообще нигде не сохраняется. Следовательно, позитивным итогом команды сравнения являются состояния арифметических флажков, показывающие отношение между операндами, а ни один из операндов не изменяется.

При использовании команды сравнения необходимо отчетливо представлять, что ее операнды допускают интерпретацию как беззнаковых, так и знаковых чисел в дополнительном коде, что влияет на содержательный смысл состояний флажков. Наиболее просто выявляется равенство (Z=1) и неравенство (Z=0) операндов: об этом сигнализирует флажок нуля Z независимо от интерпретации операндов. Отношение «больше-меньше» в случае беззнаковых чисел показывает флажок переноса: если первый операнд (уменьшаемое) больше второго (вычитаемого), то флажок переноса устанавливается в состояние 0, и наоборот. Следующие примеры показывают, что отношение «больше-меньше» для знаковых чисел проверяется суммой по модулю 2 состояний флажков 8 и V: если первый операнд больше второго, то SV=0.

41

C=1, S=1, Z=0, V=1, SV=0

2.4. Умножение

Если в системе команд микропроцессора имеется команда умножения, никаких трудностей операция умножения, естественно, не вызывает. Но если команда умножения отсутствует или формат операндов не удовлетворяет требованиям имеющейся команды умножения, приходится разрабатывать программную реализацию умножения. Рассмотрим основные принципы программирования умножения на примере беззнаковых чисел. Пусть сомножителями Х и Y являются n-битные беззнаковые числа:

множимое Х=xn-1xn-2…x1x0, множимое Y=yn-1yn-2…y1y0.

Представим множитель Y в развернутой форме

Y=y n-12n-1 +y n-22n-2+…+y121+y020

и найдем произведение:

Z=XY= (Xy n-1)2n-1 +(Xy n-2)2n-2+…+(Xy1)21+(Xy0)20.

Произведение zi=(Xyi)2i множимого на один бит множителя называется частичным произведением, а сумма k первых или последних частичных произведений называется k-oй суммой частичных произведений. При k=п сумма частичных произведений превраща-

42

ется в полное произведение Z. Произведение n-битных сомножителей имеет длину 2п битов и уменьшить ее невозможно.

Нетрудно заметить, что частичное произведение zi равно либо нулю (когда yi=0), либо множимому Х с учетом веса 2i (когда yi=1). Умножение реализуется циклическим процессом, на каждом шаге которого

–анализируется очередной бит yi множителя;

–в зависимости от его значения происходит (yi=1) или нет (yi=0) прибавление множимого к предыдущей сумме частичных произведений;

–производится изменение взаимного положения множимого Х и суммы частичных произведений с учетом веса 2i.

Всоответствии с выражением для произведения Z существует четыре возможных варианта умножения, показанных на рис. 2.1. Они различаются тем, с каких разрядов множителя Y (младшего или старшего) начинается умножение и что сдвигается – множимое или сумма частичных произведений. Вариант умножения, начиная с младших или старших разрядов множителя, называется еще ум-

ножением младшими или старшими разрядами вперед.

Когда сомножители представлены в дополнительном коде, ни один из приведенных вариантов не дает правильного произведения в дополнительном коде. В этом случае стандартный прием выполнения операции заключается в реализации следующего алгоритма:

–по знаковым битам сомножителей образовать (сложением по модулю 2) и временно сохранить знак произведения;

–образовать абсолютные значения сомножителей и умножить их, пользуясь любым вариантом;

–с учетом знака произведения представить результат в дополнительном коде.

Для сомножителей, представленных в дополнительном коде, используется еще один алгоритм умножения:

–проанализировать знак множителя и при Y<0 умножить сомножители на -1, т.е. сделать Y положительным;

–выполнить умножение по любому из вариантов с такими изменениями:

43

а) при сдвиге Х вправо знаковый бит сохраняет свое значение и копируется в соседний правый бит (арифметический сдвиг вправо); б) во всех битах старшей половины Х первоначально должна

находиться копия знакового бита; в) при суммировании множимого значение Х должно быть до-

полнено старшими копиями знакового бита; г) изменений нет.

Рис. 2.1. Варианты умножения целых двоичных чисел

При программировании операции умножения можно реализовать любой вариант, но для получения эффективных программ приходится учитывать особенности микропроцессора и системы команд.

2.5. Деление

Операция деления является обратной по отношению к умножению и реализуется похожими циклическими действиями. Обозначим через X – делимое, Y – делитель и Z==Х/Y – частное, считая

44

их целыми беззнаковыми числами. При делении целых чисел принято как дополнительный результат формировать еще и остаток R. Для операции деления характерен случай деления на ноль (Y=0). Обычно он фиксируется как переполнение, но иногда учитывается отдельно.

Рассматривают две разновидности операции деления:

–делимое, делитель и частное имеют одну и ту же длину n,

–делимоеимеетдвойнуюдлинупосравнениюсделителемичастным. Схема выполнения операции вобоих случаях однаи таже, но впер-

вомпереполнение возможнотолькопринулевомделителе, аво втором, крометого, когдастаршаяполовинаделимогобольшеделителя.

Если умножение, по существу, сводится к последовательности сложений, то деление – последовательности вычитаний делителя вначале из делимого, а затем из остатков. Деление двоичных чисел по сравнению с десятичными оказывается намного проще благодаря тому, что цифрами частного могут быть только 0 и 1. Следовательно, цифра zn-1 частного определяется просто: если текущий остаток ri-1 больше или равен делителю, цифра частного равна 1, а если, ri-1<Y, то цифра частного равна 0. Сравнение в компьютерах приводится к вычитанию, поэтому общий алгоритм деления включает в себя следующие шаги:

–вычесть делитель Y из остатка ri-1, полученного на предыдущем шаге (за начальный остаток r0 принимается делимое X), и образовать остаток ri;

–если ri <0, то zn-1=0 и необходимо вернуться к ri-1, прибавив к ri делитель (это действие называется восстановлением остатка); ес-

ли же r ≥ i, то zn-i=0 и за очередной остаток принимается ri;

– скорректировать взаимное положение остатка ri и делителя Y (что-то одно сдвигается на один бит) и повторить действия по определению следующей цифры zn-i-1 частного.

Поскольку частное можно определить только со старших разрядов, то существует два варианта деления, показанных на рис. 2.2. В первом варианте на каждом шаге производится сдвиг делителя вправо, а во втором – сдвиг остатка влево.

45

ла, а порядок (целое знаковое число) показывает фактическое положение двоичной точки в цифрах мантиссы. Следовательно, в арифметических операциях обработка мантисс и порядков должна производиться по разным правилам. В микропроцессорах широкого назначения нет команд, оперирующих числами с плавающей точкой. Поэтому при необходимости производства вычислений с такими числами приходится разрабатывать подпрограммы соответствующих операций. В арифметическом сопроцессоре формат чисел с плавающей точкой является единственным внутренним форматом.

3.1. Сложение

Предположим, что требуется сложить два числа Х и Y, представленных в формате с плавающей точкой:

Х=mxПx, Y= myПy.

Поскольку порядки Пx и Пy показывают положение двоичной точки, а складывать можно только одноименные разряды слагаемых, первым действием операции сложения должно быть так на-

зываемое выравнивание (или уравнивание) порядков, другими сло-

вами, необходимо представить числа Х и У в такой форме, в которой их порядки одинаковы. В случае Пx=Пy выравнивать порядки не нужно. Из двух исходных порядков Пx и Пy один будет меньше другого. Пусть для определенности Пy <Пx и разность порядков

∆П=Пx-Пy положительна.

Выравнивание порядков осуществляется двумя способами: либо сделать общим порядком меньший из них (Пy), либо считать общим порядком больший из них (Пx). В любом случае для сохранения значения числа придется трансформировать мантиссу того числа, порядок которого будет изменяться. Для уменьшения большего порядка (Пx) до меньшего (Пy) сдвигается мантисса mx на ∆П разрядов влево, т.е. в направлении старших разрядов. Такой подход потребует для хранения мантисс регистров двойной длины, т.к. ни один выдвигаемый слева бит отбросить нельзя из-за его большой значимости. Поэтому остается только второй вариант, который и принят во всех компьютерах: меньший порядок (Пy) увеличивается

47

до большего Пx. При этом для сохранения значения числа Y его мантисса сдвигается вправо на ∆П разрядов. При этом происходит выдвигание младших битов мантиссы my, которые при ограниченной длине регистров мантисс теряются. Их потеря, однако, существенного значения не имеет, поскольку выдвигаются и теряются младшие биты мантиссы. Отсюда следует вывод о том, что операция сложения, будучи абсолютно точной для целых чисел, принципиально связана с ошибками (погрешностями) для чисел с плавающей точкой.

Для выравнивания порядков необходимо найти разность ∆П порядков (как целых знаковых чисел), по ее знаку определить больший из порядков Пx или Пy и сдвинуть мантиссу числа с меньшим порядком на ∆П разрядов вправо. Порядком результата оказывается общий (больший) порядок, а двоичная точка в представлениях обеих мантисс будет в одном и том же месте. Рассмотрим примеры выравнивания порядков для классического формата с плавающей точкой (в дальнейшем покажем особенности этого процесса для чисел в форматах ЕС ЭВМ и СМ ЭВМ). Предполагаем, что длина мантиссы n=5, а длина порядка p=3.

Разность порядков ∆П = Пx – Пy = (+5) – (+2) =+3. Знак плюс показывает, что порядок Пx больше порядка Пy и, следовательно, мантиссу mу необходимо сдвигать на три бита вправо:

my=0 00010 (110) Пy=0 101 (Y=+2).

При сдвиге выдвигаются и теряются младшие биты мантиссы mу, содержащие 110. Чтобы повысить точность операции сложения, обычно регистры мантисс «удлиняют» вправо на несколько битов.

Разность порядков ∆П = Пx – Пy =(- 1) -(+3) =- 4. Знак минус показывает, что Пy>Пx, поэтому мантиссу mх потребуется сдвигать на 4 бита вправо: mх =0 00001 (ООН) Пx =0 011 (Х=--+1/4).

Общий порядок слагаемых стал равным 0 011, т.е. +3.

48

Очевидно, если |∆П| ≥ n, где n – длина мантисс, мантисса числа с меньшим порядком вся выдвинута вправо и сумма определяется сразу: она равна числу с большим порядком.

Второй этап сложения чисел с плавающей точкой заключается в том, чтобы сложить мантиссы как числа с фиксированной точкой, т.к. в обеих мантиссах двоичная точка находится в одном месте. Для сложения мантисс можно применить те же способы, что и рассмотренные в п.1.6.1. Продолжим предыдущие примеры 2.5 и 3.1. Введем для удобства слева дополнительный бит.

Пример 3.3. Имеем mх =1 11011, my =0 00010.

Образуем дополнительные коды мантисс и сложим их:

mх my mz

В результате получена отрицательная мантисса mz , которая представлена в дополнительном коде. Прямой код: mz =1 11001.

Результат сложения:

mz =1 11001 Пx =0 101 (Z =-25)

Пример 3.4. Имеем mх = 0 00001, my =1 11101.

Образуем дополнительные коды мантисс и складываем их:

mх mн mя

Здесь также получена отрицательная мантисса, поэтому окончательный результат равен

mz =1 11100 Пz =0 011 (Z = -7)

При сложении мантисс может возникнуть нарушение нормализации вправо и влево. Нарушение нормализации вправо происходит при сложении мантисс с разными знаками и близких по абсолютному значению; оно заключается в том, что старший бит мантиссы результата оказывается нулевым. Такое нарушение нормализации ликвидируется простым действием сдвига мантиссы влево до тех пор, пока в ее старшем бите не будет 1. При каждом сдвиге мантиссы для сохранения значения числа уменьшается порядок на 1.

49

Выравнивать порядки не требуется, т.к. Пx =Пy . Складываем мантиссы:

mx my mz

Мантисса результата mz =1 00010 и имеет нарушение нормализации вправо. Для устранения его mz необходимо три раза сдвинуть влево и уменьшить порядок Пz на 3:

mz =1 10000 Пz =0 010 (Z = -2).

При ликвидации нарушения нормализации вправо может оказаться, что порядок результата достиг своего минимального значения (у нас оно равно 1111), а процедура нормализации требует его дальнейшего уменьшения. Такая ситуация называется исчезновени-

ем порядка или антипереполнением; она свидетельствует о том,

что результат меньше минимального представимого нормализованного числа. Здесь можно предпринять два действия. Простейшая и традиционно предпринимаемая реакция – возвратить как результат операции нуль. Второй подход, обеспечивающий большую точность, – оставить результат ненормализованным и разрешить ему в таком виде участвовать в дальнейших вычислениях.

При сложении чисел с плавающей точкой следует учитывать и случай, когда сложение мантисс дает ноль (мантиссы одинаковы по абсолютному значению, но имеют разные знаки). Этот случаи называется потерей значимости. Независимо от значения порядка результат будет равен нулю (его иногда называют псевдонулем), поэтому обычно предусматривается превращение такого числа в истинный ноль.

При сложении мантисс с одинаковыми знаками может возникнуть и нарушение нормализации влево максимум на один разряд. Оно устраняется путем сдвига мантиссы вправо и увеличения порядка на 1.

50