Алмаев1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

транспонированной матрицы. Для A имеем

.pdf

Скачиваний:

345

Добавлен:

11.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

	1	1	3	4			7	2		1	3	4
							7	2		1	3	4
							1	0		2	0	3
	2	0	0	8			1	0		2	0	3
1.35.	2	0	0	8	.	1.36.	3	0		4	0	7		.
	3	0	0	2			6	3		2	4	5
	4	4	7	5			6	3		2	4	5
	4	4	7	5			5	1		2	2	3
							5	1		2	2	3
1.2. Вычисление определителей n-го порядка
Задачи
Вычислить определители приведением к треугольному виду
	a11		a12	… a1 n−2		a1 n−1	a1 n						3		2 2 … 2
	a11		a12	… a1 n−2		a1 n−1	a1 n						3		2 2 … 2
	a21		a22	… a2 n−2		a2 n−1		0					2		3 2 … 2
1.37.	a31		a32	… a3 n−2		0		0	.	1.38.			2		2 3	… 2		.
				…											…
	an1		0 … 0			0		0					2		2 2 … 3
	1 2 3 … n							1 2 3 … n −2 n −1 n
	1 2 3 … n							1 2 3 … n −2 n −1 n
	−1 0 3 … n							2 3 4 … n −1								n	n
1.39.	−1	−2		0 … n		1.40.		3 4			5	…			n	n	n		.
				…								…
	−1 −2 −3 … n							n n n … n								n	n

Вычислить определители методом выделения линейных множителей

	1	2	3	…	n			a0	a1	a2	… an
	1	x +1 3		…	n			a0	x a2		… an
1.41.	1	2	x +1 …		n	.	1.43.	a0	a1	x	… an
			…							…
	1	2	3	… x +1				a0	a1	a2	… x

		1		1	1	…	1						1		1			2	3
		1		1	1	…	1
		1	2 − x		1	…	1
		1	2 − x		1	…	1						1	2 − x2				2	3
1.42.		1		1	3 − x	…	1		.	1.44.			1	2 − x2				2	3		.
1.42.		1		1	3 − x	…	1		.	1.44.			2		3			1	5		.
					…								2		3			1	9 − x2
		1		1	1	…	n +1− x						2		3			1	9 − x2
		1		1	1	…	n +1− x
Вычислить определители методом рекурентных соотношений
		2	1	0	… 0			3		2	0		… 0
		2	1	0	… 0			3		2	0		… 0
		1	2	1	… 0			1		3	2		… 0
1.45.		0	1	2	… 0	.	1.46.	0		1	3		… 0			.
				…	0						…
		0	0	0	… 2			0		0	0		… 3
								5		6	0	0		0			… 0		0
								5		6	0	0		0			… 0		0
		7	5	0	… 0			4		5	2	0		0			… 0 0
		7	5	0	… 0			4		5	2	0		0			… 0 0
		2	7	5	… 0			0		1	3	2		0			… 0 0
1.47.		0	2	7	… 0	.	1.48.	0		0	1	3		2			… 0		0	.
				…								…
		0	0	0	… 7			0		0	0	0		0			… 3 2
								0		0	0	0		0			… 1		3
1.3. Матрицы, операции над матрицами
Определение. Суммой матриц одного порядка																Amn +Bmn назы-
вается	матрица				Cmn с	элементами				cij = aij +bij ,						где		i =1,..., m,

j =1,..., k.

Определение. Произведением матрицы A на число α называется матрица C того же порядка с элементами cij =α aij .

Определение. Произведением матрицы Amn на матрицу Bnk на-

зывается матрица Cmk с элементами cij = ∑ais bsj , где i =1,..., m,

s=1

j =1,..., k.

Примеры
1. Вычислить выражение A BT , если
1	0	3
A = 2 (2 1 1), B = −1 2		0 .
2	1	−2

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу A , используя определение произведения матрицы на число

A = 2 (2 1 1)= (4 2 2).

Найдем теперь BT . По определению, чтобы получить матрицу

BT необходимо в B поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом, имеем

1		−1	2
BT =	0	2	1 .
	3	0	−2

Вычислим теперь искомое выражение

		1		−1 2
A B	T		0 2		1	=
		=(4 2 2)
			3	0	−2

=(4 1+ 2 0 + 2 3 4 (−1) + 2 2 + 2 0 4 2 + 2 1+ 2 (−2))=

=(10 0 6).
2. Вычислить выражение P( A) , если
3	1	, P(x) = 2x2	−3x + 4 .
A =	2	, P(x) = 2x2	−3x + 4 .
1	2

Решение. Выражение P( A) представляет собой матричный многочлен

P( A) = 2 A2 −3 A + 4 E , где			1	0		– единичная матрица.
P( A) = 2 A2 −3 A + 4 E , где		E =		1		– единичная матрица.
			0	1
Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:
3	1	3	1		10 5 20 10		,
2 A2 = 2 A A = 2		1	= 2			=	,
1	2	1	2			5 5 10 10

3		1 9			3	1		0 4			0
3 A = 3	1	2	=	3	6	, 4	0	1	=	0	4	.

Подставив все это в P( A) , имеем
20 10		9 3			4 0	=	20 −9 + 4 10 −3					+0 15 7
P(A) =	−			+	0 4	=		10	−3 +0 10 −6			+ 4		=	7 8	.
10 10		3 6			0 4			10	−3 +0 10 −6			+ 4			7 8
Задачи
						2		1	−1	−1		2
1.49. Найти A + B			T	, если	A =	2		1	−1		3	7
1.49. Найти A + B				, если	A =					, B =	3	7	.
						3		2	0		4	5
											4	5

1.50. Даны матрицы
	2 0					−1					1 −3 5						0 0 0
			4 3 5								2 1 −7					,C =		2	−2 1
	A =		4 3 5					, B =			2 1 −7					,C =		2	−2 1		.
			0 7			−4					3 4 4							3 4 5
			0 7			−4					3 4 4							3 4 5
Найти: а)			2A +3BT −C ;								б) ( A − B)T				+ 2C.
1.51. Найти матрицу X , если
−1			3			1			2		−3 T
	2 4					1			2		−3 T
а) 2	2 4			+ X		=	−7			8		;
	0		5				−7			8		9
	0		5
б) 3 X T +		4			−1				−1			0
б) 3 X T +					4	=	2			2		−4	.
		3			4					2		−4
1.52. Даны матрицы											−1		2	4
	A = 1 0 −2										−1		2	4
	A = 1 0 −2								, B =			5 6 7				,C = (1 2 3).
			3		9	−5						0	3
												0	3	−1
Найти: а)		A CT ;								б)	A B;			в) BT A.
														2		3			−1	0	2
1.53. Найти A B и B A , если A = 1																4 , B =			−1	0	2
1.53. Найти A B и B A , если A = 1																4 , B =				−2	4	.
																			3	−2	4
														5		6

Найти произведения матриц
1.54.	a		b	α	β
1.54.				γ		.
	c		d	γ	δ
						1
1.56. (−1			2	2	3)		0	.
							−3
							1
	3 1 2 0 1 −2
1.58.		2	3	1 2			0			−3 .
	−1 0 −2 3 4 5
		3	0	1 −1			1			1
1.60.		2	−1	0		2	−2			1
1.60.		2	−1	0		2	−2				.
		3	0	1		5	0			−1
		3	0	1		5	0
	−1		1	2	3		1
		0 1 3			3		1		−1 2
1.61.		0 1 3				−4	5		−1 2
1.61.						−4	5
		5	1	1		0	2		4		0
		0	4	2		0	2
		0	4	2

1.62. Вычислить

1.55.	3		−2 3		4
1.55.		5	−4			.
		5	−4	2	5
	5		−1	0	2		1
	5		−1	0	2		2
1.57.		3	4	−1	0		2	.
							3
		3	2	1	5		3
		3	2	1	5		4
							4

1	−3	2 2	5	6
1.59. 3	−4	1 1	2	5 .
2	−5	3 1	3	2

6 .

а)

1 −3

0 3

в) 1 1

;

б)

2 0

3 ;

;

0 1

1 n

;

cos α

−sin α n

г)

д)

cos α

sin α

1.63. Показать, что матрица

A = 2

−1

является корнем мно-

гочлена P(x) = x2 −5x + 6 .

1.64. Вычислить P( A) , если

а)

A = 3

−1

, P(x) = x3 − 2x2 + x + 4 ;

	1			0		2
б) A =		0	0		−1 , P(x) = 3x2 −4x +1 ;
	0			1		0
	1			−2		3
в) A =		2	−4 1 , P(x) = 3x2 −2x +5 ;
	3			−5		2
	−1			0		0	0
г)	A =	0 2 0					0	, P(x)	= x4	− 2x2 +3x −5 .
		0		0		1	0
		0		0		0	0

1.4. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица A−1 называется обратной к

квадратной матрице A того же порядка, если AA−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда det A ≠ 0 .

Утверждение. Элементы cij обратной матрицы A−1 , если она существует, можно найти по формуле

		A	ji		AT
c	=			или c =	ij	,

ij				ij

где = det A, Aji – алгебраическое дополнение к элементу aji матрицы A , AijT – алгебраическое дополнение к элементу aijT транспонированной матрицы AT .

Примеры				1		0	3

1. Найти матрицу C = A	−1	обратную к	A , если		0	2	1
				A =				.
					1	1	0

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы A , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

1 0 3

det A = = 0 2 1 =1 (2 0 −1 1) +3 (0 1− 2 1) = −1−6 = −7 ≠ 0 . 1 1 0

Следовательно, для A существует обратная матрица. Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы об-

ратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам

Вычислим последовательно элементы cij :

					1+1									2					1
c	=		AT		=				(−1)					1 0						=			−1				=	1	,
			11

11												−7											−7					7
												−7											−7					7
					1+2										0				1
					1+2										0				1
c		=	AT		=					(−1)					3 0						=			(−1) (−3)								= −		3	,
			12

12												−7															−7							7
												−7															−7							7
					1+3									0					2
					1+3									0					2
c		=	AT		=				(−1)					3 1							=			(−6)				=	6		,
			13

13												−7													−7				7
												−7													−7				7
			AT							(−1)2+1						0			1					(−1) (−1)										1
										(−1)2+1						0			1
c		=				=										1 0					=											= −			,
			21
			21

21												−7															−7							7
												−7															−7							7
																	1		1
			AT							(−1)2+2							1		1						(−3)					3
c		=	AT				=										3		0		=				(−3)			=		3	,
			22
			22

22												−7														−7				7
												−7														−7				7
				AT							(−1)2+3							1	0							(−1) 1						1
											(−1)2+3							1	0
c		=						=										3	1			=								=			,
				23
				23

23													−7														−7					7
													−7														−7					7

				AT				(−1)3+1	0		1					(−2)								2
c	=			AT	=				2		1		=			(−2)						=		2		,
		31
		31

31								−7											−7					7
								−7											−7					7
				AT				(−1)3+2		1	1						(−1) 1									1
								(−1)3+2		1	1
c	=						=			0	1		=												=		,
				32
				32

32								−7												−7						7
								−7												−7						7
									1		0
				AT				(−1)3+3	1		0								2						2
c	=			AT		=			0		2			=					2		= −				2	.
			33
			33

33								−7										−7							7
								−7										−7							7
С учетом полученного обратная к A матрица имеет вид
																			1		1					−3		6
								C = A				−1							1
															=								−1 3					1	.
															=				7				−1 3					1	.
																			7				2				1	−2
																							2				1	−2
2. Решить матричное уравнение
								A X =		B , где A =												2				1		B =	3		1
								A X =		B , где A =													2			3	,	B =		4	.
																							2			3				4	5

Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы A отличен от нуля, удобно решать путем умножения обеих

частей уравнения слева на матрицу A−1 . В этом случае для искомой матрицы получим

A−1 A X = A−1 B и поскольку A−1 A = E , то X = A−1 B .

Найдем теперь выражение для A−1 . Детерминант матрицы A равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем

		3			−	1
								1	3		−1
		4				4			3		−1
A−1 =							=						.
A−1 =							=				2		.
		−	1		1		4		−2		2

			2		2
			2		2
Учитывая последнее, для X получим
X = A−1 B =	1				3 −1 3 1							1	5 −2
	1									=		1			.
	4			−2 2						=	4			2 8	.
	4			−2 2			4 5				4			2 8

Задачи
1.65. Какая из матриц												B,C, D является обратной к матрице													A ,
если A =		1 2							1 3					4 −3 2					D =		4		−1
если A =					, B =								, C =					,	D =					.
		3 8							2 8					−4 1 2							−3 2 1 2
1.66. При каких λ существует A−1 , если
				2				4 −1										−1			2 λ
a)					0			0 3				;							λ		3 0
a)	A =				0			0 3				;				б) A =			λ		3 0		;

				λ −2 2 1														λ −1 5 λ
				λ	λ	2	−1		0
				λ	λ	2	−1		0
в) A = 1						λ			0 .
				3		4			2
				3		4			2
Найти матрицу, обратную к данной, если она существует
1.67.	a b							1.68.			2		−3			1.69.		3 4					4 5
1.67.					.			1.68.						.		1.69.			.		1.70.				.
	c d										1		−4					5 7					5 6
	2 0							0					1 2 2								3 −4 5
1.71.		0		1 2				0						2	1		−2					2	−3	1
1.71.		0		1 2				0	.		1.72.			2	1		−2	.	1.73.			2	−3	1	.
		0 0 1 3												2	−2 1							3
		0 0 1 3												2	−2 1							3	−5 −1
	−10 12							−10							2 5 7
1.74.			−17			6			7				1.75.			6	3	4
1.74.			−17			6			7	.			1.75.			6	3	4	.
				8		0			−8							5	−2
				8		0			−8							5	−2	−3
	−3				1			9							1		−3	0	0
	−3				1			9								0	1	0	0
1.76.			−5		−3			8	.				1.77.			0	1	0	0	.
																0	0	2	1
			−4		−1			5								0	0	2	1
			−4		−1			5								0	0	1	1
																0	0	1	1
	1 0 0 0														0 0 −1 3
			−1		1			0		0						1	−5	0		2
1.78.			−1		1			0		0	.		1.79.			1	−5	0		2	.
			1 −1 1 0													0	0 3 4
			−1 1					−1 1								0	0 7 8
			−1 1					−1 1								0	0 7 8

Решить матричные уравнения
1.80.	1 2						3 5				1.81.			3 −2			−1 2
1.80.	3			X =			5 9		.		1.81.			X	−4	=	−5 6	.
	3		4				5 9							5	−4		−5 6
1.82.	3		−1				5 6 14 16
1.82.	5		−2		X					=	9 10			.
	5		−2				7 8				9 10
1.83.	−1 2						1 0 −2 −12
1.83.	0 1				X					=	1			.
	0 1						2 4				1		−4
		1 2 −1 1 −2 5
			0	4						14			−7
1.84. X			0	4	−2			= 1		14			−7	.
			1 0 2
			1 0 2				1 20					−12
	1		2 −3						1 −3 0
1.85.	3		2		−4	X =					2		7
1.85.	3		2		−4	X =			10		2		7	.
	2		−1 0
	2		−1 0						10 7 8
	1		−1 0						1 2			−1 6
1.86.	2		4			X +					4
1.86.	2		4		−1	X +			−1		4		= −1 2		.
	0		1 2							0 5				5 12
	0		1 2							0 5				5 12

1.5. Базисный минор, ранг матрицы

Определение. Минор r -го порядка матрицы A называется ее базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы A порядка (r +1) и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок ее базисного минора. Для ранга матрицы A используются такие обозначения:

r( A), rg( A) .

Утверждение. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется

-при транспонировании матрицы;

-при перестановке ее строк и столбцов;

-при умножении всех элементов ее строки (столбца) на число, отличное от нуля;

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
11.06.20152 Мб345Алмаев1.pdf
#
11.06.20152 Мб202Алмаев2.pdf