Метода
.pdf8) q41 ! q00L { |
SLU^AJ |
P (x; t) = true, |
WYHOD IZ CIKLA |
, |
PO |
- |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
LU^ILI K2 = 01x01 t P (x;t)q00. |
|
|
|
|||
mA[INA T |
POSTROENA. zAMETIM, ^TO, ESLI P (x; t) = false |
|
DLQ |
||||||
WSEH t , TO M-T |
T BUDET RABOTATX BESKONE^NO DOLGO. |
|
|
|
|||||
dLQ POSTROENIQ ISKOMOJ MA[INY F |
K POLU^ENNOJ KONFIGURA- |
||||||||
CII K2 PRIMENIM SLEDU@]U@ KOMPOZICI@: |
|
|
|
|
|||||
HL : K20 |
` K3, |
GDE K3 |
= 01xq001f(x)0; |
|
|
|
|
|
|
T R : K30 |
` K4, |
GDE K4 |
= 01f(x)q001x0; |
|
|
|
|
|
|
Z : K40 ` K5, |
GDE K5 |
= 01f(x)q00; |
|
|
|
|
|
||
HL : K50 |
` Kr, |
GDE Kr = q001f(x)0. |
|
|
|
|
|
||
iTAK |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
(P A HR ))q6q7 |
HL ) HL T R Z HL |
||||||
, F = ((T (q2q3 |
|||||||||
PRAWILXNO WY^ISLQET FUNKCI@ f(x) = t P(x; t) . |
|
|
|
||||||
tEOREMA DOKAZANA.
tEOREMA tX@RINGA. wSE ^ASTI^NO REKURSIWNYE FUNKCII QWLQ@TSQ PRAWILXNO WY^ISLIMYMI.
dOKAZATELXSTWO. mA[INY tX@RINGA DLQ WY^ISLENIQ ISHODNYH FUNKCIJ Z(x) , N(x) I SELEKTORNOJ FUNKCII Ikn BYLI POSTROENY NA S. 41 I 47; MA[INY tX@RINGA DLQ FUNKCIJ, POLU^AEMYH S POMO]X@ OPERATOROW SUPERPOZICII I PRIMITIWNOJ REKURSII SM. NA S. 47 I 48, A MA[INA tX@RINGA DLQ NEOGRANI^ENNOGO OPERATORA MINIMIZACII BYLA POSTROENA WY[E W \TOM PARAGRAFE.
x10. fORMULA kLINI
tEOREMA 1. dLQ L@BOJ FUNKCII f(x1; : : : ; xn) , PRAWILXNO WY- ^ISLIMOJ S POMO]X@ MA[INY tX@RINGA, SU]ESTWU@T PRIMITIWNO REKURSIWNYE FUNKCII Ff (x1; : : : ; xn; y) I Gf (x1 ; : : : ; xn; y) TAKIE,
^TO f(x1; : : : ; xn) = Ff (x1; : : : ; xn; y(Gf (x1; : : : ; xn; y) = 0) .
dOKAZATELXSTWO. pUSTX MA[INA tX@RINGA M = (A; Q; P ) PRAWILXNO WY^ISLQET FUNKCI@ f(x1; : : : ; xn) , S^ITAEM, ^TO
I Q = fq0; q1; : : : ; qmg .
dOBAWIM K PROGRAMME P KOMANDY q00 ! q00E I q01 ! q01E . tOGDA DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ KONFIGURACII MOVNO POSTROITX BESKO-
NE^NU@ CEPO^KU POLU^A@]IHSQ DRUG IZ DRUGA KONFIGURACIJ.
51
sOPOSTAWIM KAVDOJ KONFIGURACII K = UqiV TROJKU ^ISEL
(f1(K); f2(K); f3(K)) , GDE f1(K) { ^ISLO, DWOI^NOJ ZAPISX@ KOTOROGO QWLQETSQ SLOWO U (ESLI U - PUSTOE, TO f1(K) = 0 ), f2(K) = i
{ NOMER SOSTOQNIQ, f3(K) { ^ISLO, DWOI^NOJ ZAPISX@ KOTOROGO QWLQETSQ SLOWO V , ZAPISANNOE W OBRATNOM PORQDKE, (ESLI V - PUSTOE, TO f3(K) = 0 ). o^EWIDNO, ^TO RAWNYM (\KWIWALENTNYM) KONFIGURACIQM SOOTWETSTWU@T ODINAKOWYE TROJKI ^ISEL.
|
pUSTX K0(x) = q101x1 01x2 0 : : : 01xn 0 { NA^ALXNAQ KONFIGURACIQ |
|||||||||||||
I |
M : K0(x) |
! K1(x) ! K2(x) ! : : : , |
GDE ^EREZ |
x |
OBOZNA^EN NABOR |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
PEREMENNYH |
(x1; x2; : : : ; xn) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
rASSMOTRIM FUNKCII f1(x; t) = f1(Kt(x)) , f2(x; t) = f2(Kt(x)) |
|||||||||||||
I f3(x; t) = f3(Kt(x)) . oKAZYWAETSQ, ^TO FUNKCII f1 , |
|
f2 I f3 MO- |
||||||||||||
GUT BYTX POLU^ENY PO SHEME SOWMESTNOJ REKURSII. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
pUSTX T1(i; a) , T2(i; a) |
I T3(i; a) { FUNKCII, KOTORYE PO NOME- |
||||||||||||
RU SOSTOQNIQ i I WHODNOMU SIMWOLU |
a OPREDELQ@T NOMER NOWOGO |
|||||||||||||
SOSTOQNIQ, WYHODNOJ SIMWOL I NAPRAWLENIE PEREDWIVENIQ SOOTWET- |
||||||||||||||
STWENNO, T.E. ESLI qia ! qj bs 2 P , TO |
|
|
0; |
ESLI s = L, |
|
|
||||||||
|
T1(i; a) = j; T2(i; a) = b; T3(i; a) = 8 1; |
ESLI |
s = E, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
< |
2; |
ESLI s = R. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||
|
fUNKCII |
T1 , T2 |
I |
T3 |
OPREDELENY PRI |
i |
2 f0; 1; : : : ; mg0 |
I DLQ |
||||||
|
|
|
|
|
N |
0 |
||||||||
a |
2 f0; 1g . dOOPREDELIM IH DLQ OSTALXNYH PAR |
(i; a) |
|
IZ N |
|
|||||||||
NUL<M. dOOPREDEL<NNYE TAKIM OBRAZOM FUNKCII T1 , T2 |
I T3 |
BUDUT |
||||||||||||
PRIMITIWNO REKURSIWNYMI, TAK KAK ONI OTLI^NY OT NULQ LI[X W |
||||||||||||||
KONE^NOM ^ISLE TO^EK. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
iMEEM: f1(x; 0) = 0 , f2(x;0) = 1 I f3(x; 0) = n(xn; xn;1; : : : ; x1) . |
|||||||||||||
|
wWED<M SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: i = f2(x; t) , a = r(f3(x; t); 2) I |
|||||||||||||
b = r(f1(x; t); 2) , GDE r(x; y) { OSTATOK OT DELENIQ x NA y . tOGDA |
|
|||||||||||||
|
|
|
d(f1(x; t); 2); |
ESLI T3(i; a) = 0; |
|
|
||||||||
|
f1(x; t + 1) = 8 f1(x; t); |
ESLI T3(i; a) = 1; |
|
|
||||||||||
|
|
< |
2f1(x; t) + T2(i; a); |
ESLI T3(i; a) = 2; |
|
|
||||||||
|
f2(x; t + 1) = :T1(i; a); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 4d(f3(x; t);2) + 2T2(i; a) + b; f3(x; t+1) = < 2d(f3(x; t);2) + T2(i; a);
: d(f3(x; t); 2);
52
ESLI T3(i; a) = 0;
ESLI T3(i; a) = 1;
ESLI T3(i; a) = 2:
iTAK, f1 , f2 I f3 MOGUT BYTX POLU^ENY PO SHEME SOWMESTNOJ REKURSII IZ PRIMITIWNO REKURSIWNYH FUNKCIJ. sLEDOWATELXNO, f1 , f2 I f3 { PRIMITIWNO REKURSIWNY.
oPREDELIM MOMENT WREMENI, KOGDA BUDET DOSTIGNUTO SOSTOQNIE q0 : t(f2(x; t) = 0) . |TA FUNKCIQ NE OPREDELENA, ESLI K0(x) ` . w \TOT MOMENT WREMENI f3(x; t) = 1f(x1:::xn)0 . pO\TOMU,
f(x1; : : : ; xn) = f3;x; t(f2(x; t) = 0) ;. 1:
iTAK, f(x1; : : : ; xn) = Ff (x1 ; : : : ; xn; y(Gf (x1; : : : ; xn; y) = 0)) , GDE Ff (x1; : : : ; xn; z) = (f3(x1; : : : ; xn; z)) ;. 1 I Gf (x1; : : : ; xn; y) =
= f2(x1; : : : ; xn; y) , ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.
sLEDSTWIE. eSLI FUNKCIQ PRAWILXNO WY^ISLIMA NA MA[INE tX@RINGA, TO ONA QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ.
x11. uNIWERSALXNAQ MA[INA tX@RINGA
kAVDOJ MA[INE tX@RINGA MY PRISWOIM INDIWIDUALXNYJ NOMER SLEDU@]IM SPOSOBOM. pUSTX DANA PROIZWOLXNAQ MA[INA tX@-
RINGA T = (A; Q; P) , GDE A = fa1; a2; : : : ; ang , Q = fq0; q1; : : : ; amg ;
OBOZNA^IM M = max(n; m + 1) .
nOMEROM SIMWOLA aj 2 A BUDEM S^ITATX ^ISLO n(aj) = 20M;j1j ,
SOSTOQ]EE IZ M + 1 DESQTI^NOJ CIFRY. nOMER NEZAKL@^ITELXNOGO SOSTOQNIQ qi 2 Q { ^ISLO n(qi) = 30M;j;11j+1 , ESLI VE qi QW-
LQETSQ ZAKL@^ITELXNYM, TO n(qi) = 40M;j;11j+1 . nAKONEC, PUSTX n(!) = 5 , n(L) = 6 , n(R) = 7 I n(E) = 8 .
eSLI = ai1 ai2 : : : aik { SLOWO W ALFAWITE A , TO OPREDELIM n( ) KAK KONKATENACI@ BUKW \TOGO SLOWA W PORQDKE SLEWA NAPRAWO,
T.E. n( ) = n(ai1 )n(ai2 ) : : : n(aik ) . aNALOGI^NO OPREDELIM n(A) I n(Q) .
eSLI KONFIGURACIQ K = qi , TO n(K) = n( )n(qi)n( ) . eSLI KOMANDA Kij = qiaj ! qkals , TO ONA IMEET NOMER n(Kij) =
= n(qi)n(aj)n(!)n(qk)n(al)n(s) , A NOMER PROGRAMMY P QWLQETSQ KONKATENACIEJ NOMEROW WSEH EE KOMAND.
nAKONEJ, NOMEROM M-T T QWLQETSQ ^ISLO n(T ) = n(A)n(Q)n(P) .
53
bEZ POTERI OB]NOSTI, BUDEM DALEE RASSMATRIWATX MA[INY tX@- RINGA, KOTORYE RABOTA@T TOLXKO NA PRAWOJ POLULENTE, IMENNO TAKIE MA[INY MY STROILI W PREDYDU]IH PARAGRAFAH.
tEOREMA OB UNIWERSALXNOJ MA[INE tX@RINGA. sU]ESTWU-
ET MA[INA tX@RINGA U = (Au; Qu; Pu) TAKAQ, ^TO DLQ L@BOJ M-T T = (A; Q; P ) I L@BOJ EE NA^ALXNOJ KONFIGURACII K0 MA[INA U WYPOLNQET SLEDU@]EE:
U : q1un(P ) n(K0) ` q0un(Kr) , ESLI T : K0 ` Kr I
U : q1un(P ) n(K0) ` , ESLI T : K0 ` ,
T.E. MA[INA U POLNOSTX@ IMITIRUET RABOTU M-T T .
dOKAZATELXSTWO. pOLNOE OPISANIE MA[INY U QWLQETSQ GROMOZDKIM, PO\TOMU MY TOLXKO SHEMATI^ESKI OPI[EM PRINCIP EE RABOTY. pUSTX n(P ) n(K) { TEKU]EE SLOWO NA LENTE MA[INY U , GDE n(K) = n( )n(qi)n( ) { NOMER TEKU]EJ KONFIGURACII MA[INY T .
wYPOLNQEM POSLEDOWATELXNO SLEDU@]IE [AGI.
1.w SLOWE n(K) NAHODIM n(qi) , ESLI qi OKAZALOSX ZAKL@^I-
TELXNYM SOSTOQNIEM, TO STIRAEM n(P ) I OSTANAWLIWAEM RABOTU MA[INY U .
2.eSLI qi { NEZAKL@^ITELXNOE SOSTOQNIE, TO NAHODIM PERWYJ SIMWOL PRAWEE n(qi) . eSLI \TOT SIMWOL OKAZALSQ PUSTYM, TO ZAPISYWAEM SPRAWA OT n(qi) NOMER PUSTOGO SIMWOLA, ZAMETIM, ^TO ON IMEETSQ W ALFAWITE A . tAKIM OBRAZOM, W SLOWE n(K) WSEGDA BUDET EDINSTWENNAQ PODCEPO^KA WIDA n(qi)n(aj) .
3.i]EM NOMER KOMANDY Kij W SLOWE n(P ) , KOTORYJ NA^INAETSQ NA n(qi)n(aj) , OTME^AEM EGO I IMITIRUEM WYPOLNENIE KOMANDY Kij = qiaj ! qk als SLEDU@]IM OBRAZOM.
4.zAMENQEM W SLOWE n(K) PODCEPO^KU n(qi)n(aj) NA n(qk)n(al) .
eSLI s = R , TO PRIMENQQ MA[INU T R MENQEM MESTAMI n(qk) I n(al) . eSLI s = L , TO PRIMENQQ MA[INU T R MENQEM MESTAMI n(qk) I NOMER SIMWOLA, NAHODQ]EGOSQ LEWEE n(qk) . eSLI s = E , TO n(qk) OSTAWLQEM NA MESTE.
5. pEREHODIM K IMITACII WYPOLNENIQ SLEDU@]EJ KOMANDY, WOZWRA]AQSX SNOWA K [AGU 1.
tEOREMA DOKAZANA.
54
x12. nERAZRE[IMOSTX ZADA^I OSTANOWA
tEOREMA. nEWOZMOVNO POSTROITX TAKU@ M-T To , KOTORAQ MOG-
LA BY DLQ L@BOJ M-T T = (A; Q; P ) PO NOMERU EE PROGRAMMY P |
|||||||||
I NOMERU SLOWA W ALFAWITE |
A OPREDELITX PRIMENIMA ILI NE |
||||||||
PRIMENIMA MA[INA T K SLOWU , NAPRIMER, TAKIM OBRAZOM: |
|||||||||
To : |
q1n(P )n( ) ` q0010 , |
ESLI |
T |
PRIMENIMA K |
|
I |
|||
|
|
|
|
||||||
To : |
q1n(P )n( ) ` q000 , |
ESLI |
|
T |
NE PRIMENIMA K |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||
dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO TAKAQ M-T To SU]ESTWUET. |
|||||||||
pOSKOLXKU To |
RE[AET PROBLEMU OSTANOWA DLQ L@BYH MA[IN, TO, |
||||||||
W ^ASTNOSTI, |
ONA RE[AET \TU PROBLEMU I DLQ WSEH MA[IN T , U |
||||||||
KOTORYH n(P ) QWLQETSQ SLOWOM W ALFAWITE |
A . dLQ L@BOJ TAKOJ |
||||||||||||||||
MA[INY T IMEEM: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
To : q1n(P )n(n(P)) ` q0010 , |
|
ESLI |
T |
PRIMENIMA K |
n(P) |
I |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
To : q1n(P )n(n(P)) |
` q000 , |
ESLI |
T |
|
NE PRIMENIMA K |
n(P) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
o^EWIDNO, SU]ESTWUET M-T T1 : q1n(P) ` q0n(P )n(n(P)) . rAS- |
|||||||||||||||||
MOTRIM KOMPOZICI@ T2 = T1 |
To I ZAMETIM, |
^TO |
|
|
|
|
|||||||||||
T2 : q1n(P ) ` q0010 , |
ESLI |
T |
|
PRIMENIMA K |
n(P ) |
I |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T2 : q1n(P ) ` q000 , |
ESLI |
T |
|
NE PRIMENIMA K |
n(P ) . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
pOSTROIM M-T T3 S PROGRAMMOJ |
q10 |
! q20R , |
|
q21 ! q21E , |
|||||||||||||
q20 ! q00L I RASSMOTRIM KOMPOZICI@ |
T4 = T2 T3 . tOGDA DLQ |
||||||||||||||||
L@BOJ MA[INY T IMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T4 : q1n(P ) ` , ESLI T PRIMENIMA K n(P ) |
I |
|
|
|
|
|
|||||||||||
T4 : q1n(P ) ` q000 , |
ESLI |
T |
|
NE PRIMENIMA K |
n(P ) . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
wOZXMEM W KA^ESTWE MA[INY T SAMU MA[INU T4 |
I POLU^IM |
||||||||||||||||
T4 : q1n(P4) ` , ESLI T4 |
PRIMENIMA K n(P4) I |
|
|
|
|
||||||||||||
T4 : q1n(P4) ` q000 , ESLI T4 |
NE PRIMENIMA K n(P4) . |
|
|
||||||||||||||
pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE OZNA^AET, ^TO NA[E ISHODNOE PREDPO- |
|||||||||||||||||
LOVENIE BYLO NEWERNYM I MA[INA To |
|
NE SU]ESTWUET. |
|
|
|||||||||||||
tEREMA DOKAZANA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
g l a w a 4
formalxnye qzyki i grammatiki
x1. pONQTIE FORMALXNOGO QZYKA
pOD ALFAWITOM A BUDEM PONIMATX L@BOE NEPUSTOE MNOVESTWO, EGO \LEMENTY BUDEM NAZYWATX SIMWOLAMI \TOGO ALFAWITA.
sLOWOM (CEPO^KOJ) W ALFAWITE A NAZYWAETSQ L@BAQ KONE^NAQ UPORQDO^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW; SLOWA BUDEM OBOZNA- ^ATX GRE^ESKIMI BUKWAMI I T.D.; PUSTOE SLOWO BUDEM OBOZNA- ^ATX BUKWOJ " .
mNOVESTWO WSEH SLOW W ALFAWITE VESTWO WSEH NEPUSTYH SLOW | ^EREZ A+ .
oPREDELENIE 1. fORMALXNYM QZYKOM ZYWAETSQ L@BOE PODMNOVESTWO A , T.E. L A .
sO SLOWAMI MOVNO PROIZWODITX SLEDU@]IE OPERACII.
1.kONKATENACIEJ SLOW I NAZYWAETSQ SLOWO , POLU^AEMOE PRISOEDINENIEM SLOWA SPRAWA K SLOWU . zAMETIM, ^TO W OB]EM SLU^AE 6= .
2.eSLI SIMWOLY SLOWA ZAPISATX W OBRATNOM PORQDKE, TO POLU^ITSQ SLOWO R , NAZYWAEMOE OBRA]ENIEM SLOWA .
pRIMER 1. eSLI = abb , = 0a0b0 , TO SLOWO = abb0a0b0 ,
= 0a0b0abb , R = bba , A R = 0b0a0 .
o^EWIDNO SLEDU@]EE SWOJSTWO: ( )R = R R , T.E. OBRA]ENIE KONKATENACII RAWNO KONKATENACII OBRA]ENIJ W OBRATNOM PORQDKE. eSLI CEPO^KA = , TO SLOWO NAZYWAETSQ PREFIKSOM, A { SUFFIKSOM SLOWA . eSLI = , TO NAZYWAETSQ PODCEPO^KOJ SLOWA ; PRI \TOM NE ISKL@^ENY SLU^AI, KOGDA = " ILI = " .
s QZYKAMI MOVNO PROIZWODITX SLEDU@]IE OPERACII.
56
1.oPERACII OB_EDINENIQ, PERESE^ENIQ, RAZNOSTI I SIMMETRI- ^ESKOJ RAZNOSTI QZYKOW, T.K. ONI QWLQ@TSQ MNOVESTWAMI.
2.kONKATENACIEJ FORMALXNYH QZYKOW L1 I L2 NAZYWAETSQ
QZYK L1L2 = f j 2 L1; 2 L2g . kONKATENACI@ LL MOVNO OBOZNA^ATX ^EREZ L2 SOOTWETSTWENNO Ln = LL : : : L { n RAZ.
|
3. iTERACIEJ QZYKA L NAZYWAETSQ QZYK L , SOSTOQ]IJ IZ WSEH |
|||||||||||||
SLOW NAD L , T.E. ALFAWITOM DLQ L SLUVIT ISHODNYJ QZYK L . |
||||||||||||||
oBOZNA^IM ^EREZ L+ QZYK L nf"g , KOTORYJ NAZYWA@T POZITIWNOJ |
||||||||||||||
ITERACIEJ QZYKA L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
iZ OPREDELENIJ ITERACII I KONKATENACII WYTEKAET SLEDU@]EE |
|||||||||||||
SWOJSTWO: L = f"g [ L [ L2 [ L3 [ : : : [ Ln [ : : : . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2. pONQTIE FORMALXNOJ GRAMMATIKI |
|
|
|
||||||||||
|
oPREDELENIE 1. fORMALXNOJ GRAMMATIKOJ G NAZYWAETSQ TROJ- |
|||||||||||||
KA |
(T; NT; P ) , |
GDE |
T = fa1; a2; : : : ; ang |
| |
ALFAWIT TERMINALXNYH |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
SIMWOLOW, OBOZNA^AEMYH MALYMI LATINSKIMI BUKWAMI; K NIM ^ASTO |
||||||||||||||
DOBAWLQ@T CIFRY |
0; 1;2 |
: : : ; 9 ; |
MNOVESTWO |
NT = |
fV1; V2; : : : ; Vng |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
| ALFAWIT NETERMINALXNYH SIMWOLOW, OBOZNA^AEMYH BOLX[IMI |
||||||||||||||
LATINSKIMI BUKWAMI, T |
\ NT |
= ? , |
V1 |
NAZYWAETSQ NA^ALXNYM |
||||||||||
SIMWOLOM, ON OBOZNA^AETSQ OBY^NO ^EREZ |
I ILI S ; P |
| KONE^- |
||||||||||||
NOE MNOVESTWO POROVDA@]IH PRAWIL (PRODUKCIJ) WIDA ! , GDE |
||||||||||||||
; | SLOWA (CEPO^KI) W ALFAWITE T [ NT . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
gOWORQT, ^TO CEPO^KA NEPOSREDSTWENNO WYWODITSQ IZ CEPO^KI |
|||||||||||||
; |
PI[UT |
) |
, ESLI |
= 1 2 , |
= 1 2 |
I ! |
2 P . |
|||||||
gOWORQT, ^TO CEPO^KA |
WYWODITSQ IZ ; PI[UT |
) |
|
, ESLI |
||||||||||
) 1 ) : : : ) |
n ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
oPREDELENIE |
2. fORMALXNYM QZYKOM L(G) , POROVDENNYM GRAM- |
||||||||||||
MATIKOJ G , NAZYWAETSQ |
f j |
2 T ; I ) g . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
oPREDELENIE 3. gRAMMATIKOJ TIPA 0 NAZYWAETSQ GRAMMATIKA, |
|||||||||||||
PRAWILA WYWODA KOTOROJ IME@T WID |
! |
, GDE |
2 |
(T |
[ |
NT )+ , |
||||||||
2 |
(T [ NT ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
oPREDELENIE 4. gRAMMATIKOJ TIPA 1 |
(KONTEKSTNO ZAWISIMOJ |
||||||||||||
GRAMMATIKOJ) NAZYWAETSQ GRAMMATIKA, PRAWILA WYWODA KOTOROJ IME-
@T WID A ! ! , GDE ! 2 (T [ NT)+ .
57
oPREDELENIE 5. gRAMMATIKOJ TIPA 2 (KONTEKSTNO SWOBODNOJ ILI ks-GRAMMATIKOJ) NAZYWAETSQ GRAMMATIKA, PRAWILA WYWODA KOTOROJ IME@T WID A ! , GDE 2 (T [ NT) .
oPREDELENIE 6. gRAMMATIKOJ TIPA 3 (REGULQRNOJ GRAMMATIKOJ) NAZYWAETSQ GRAMMATIKA S PRAWILAMI WYWODA WIDA A ! aB LIBO A ! a . kROME \TIH PRAWIL DOPUSKAETSQ E]E PRAWILO I ! " DLQ WYWODA PUSTOGO SLOWA.
tIP FORMALXNOGO QZYKA OPREDELQETSQ TIPOM POROVDA@]EJ EE FORMALXNOJ GRAMMATIKI. pRIWEDENNAQ WY[E KLASSIFIKACIQ FORMALXNYH QZYKOW I GRAMMATIK NAZYWAETSQ IERARHIEJ hOMSKOGO.
bUDEM PISATX ! j WMESTO PARY ! , ! .
pRIMER 1. L = fa2n;1 j n > 0g | REGULQRNYJ QZYK; ON POROVDAETSQ REGULQRNOJ GRAMMATIKOJ G = (T; NT; P) , GDE T = fag ,
NT = fI; Ag , P = fI ! a j aA; A ! aIg .
pRIMER 2. L = fanbn j n > 0g | KONTEKSTNO SWOBODNYJ QZYK; ON POROVDAETSQ ks-GRAMMATIKOJ G = (T; NT; P ) , GDE T = fa; bg ,
NT = fIg , P = fI ! ab j aIbg .
pRIMER 3. L = fanbnan j n > 0g | KONTEKSTNO ZAWISIMYJ QZYK; ON POROVDAETSQ KONTEKSTNO ZAWISIMOJ GRAMMATIKOJ G = (T; NT; P ) ,
GDE T = fa; bg , NT = fI; A; B; C; Dg , P = fI ! aBA , A ! a , B ! b j aBCA , bC ! bb , AC ! DC , DC ! DA , DA ! CAg .
wYWOD SLOWA W REGULQRNOJ ILI ks-GRAMMATIKE ^ASTO IZOBRAVA- @T W WIDE ORIENTIROWANNOGO DEREWA, DUGI KOTOROGO IME@T NAPRAWLENIE SWERHU WNIZ OT FIKSIROWANNOJ WER[INY, NAZYWAEMOJ KORNEM DEREWA. kAVDOJ WER[INE DEREWA PRISWAIWA@T METKU { ODIN IZ SIMWOLOW MNOVESTWA T [ NT . kORENX DEREWA IMEET METKU I , WER[INY STEPENI 1 (LISTXQ DEREWA) IME@T TERMINALXNYE METKI, OSTALXNYE WER[INY IME@T NETERMINALXNYE METKI.
iZ WER[INY X IDUT DUGI W WER[INY S METKAMI Y1; Y2; : : : ; Yn , RASPOLOVENNYMI NA DEREWE W PORQDKE SLEWA NAPRAWO, ESLI PRI WYWODE SLOWA PRIMENQETSQ PRAWILO X ! Y1Y2 : : : Yn . eSLI METKI LISTXEW ZAPISATX SLEWA NAPRAWO, TO POLU^ITSQ KRONA DEREWA; ONA I QWLQETSQ TEM SAMYM SLOWOM, WYWOD KOTOROGO PREDSTAWLEN \TIM DEREWOM.
58
nA RIS. 1 PRIWEDENY WYWODY SLOWA a3 , SM. PRIMER 1, I SLOWA a2b2 (SM. PRIMER 2).
I H
?j
A H
a ?j
I
a ?
a
rIS. 1
;I @
; ?@
a I R bAU a b
x3. rEGULQRNYE QZYKI I IH OB_EDINENIE
w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM OSNOWNYE SWOJSTWA REGULQRNYH QZYKOW I GRAMMATIK.
oPREDELENIE 1. rEGULQRNAQ GRAMMATIKA S PRAWILAMI WYWODA WIDA A ! aB LIBO A ! a NAZYWAETSQ PRAWOSTORONNEJ; ESLI W NEJ ZAMENITX PRAWILA A ! aB NA A ! Ba , TO POLU^AETSQ LEWOSTORONNQQ REGULQRNAQ GRAMMATIKA.
mOVNO DOKAZATX TEOREMU (SM. [7] ) O TOM, ^TO PO L@BOJ LEWOSTORONNEJ GRAMMATIKE MOVNO POSTROITX \KWIWALENTNU@, T.E. POROVDA- @]U@ TOT VE SAMYJ QZYK, PRAWOSTORONN@@ GRAMMATIKU. pO\TOMU BUDEM DALX[E DLQ UDOBSTWA POD REGULQRNOJ GRAMMATIKOJ PONIMATX TOLXKO PRAWOSTORON@@ GRAMMATIKU.
pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW REGULQRNYH GRAMMATIK I POROV-
DAEMYH IMI QZYKOW. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pRIMER 1. rEGULQRNAQ GRAMMATIKA S PRAWILAMI |
I |
! " j aA , |
|||||||||||||||||
A ! aj4aB , B |
! aA POROVDAET QZYK L1 = fa2n j n > |
0g . wYWOD |
|||||||||||||||||
SLOWA a IZ L1 |
|
WYGLQDIT TAK: |
I ! aA ! aaB ! aaaA ! aaaa . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
+ |
! |
|
|
|
! |
|
j |
|
|
pRIMER |
2. rEGULQRNAQ GRAMMATIKA |
I |
|
|
aA , |
A |
|
|
b |
|
bI POROV- |
||||||||
DAET QZYK |
L2 = f(ab) |
|
j n > 0g = fabg |
|
. nAPRIMER, WYWOD SLOWA |
||||||||||||||
abab WYGLQDIT TAK: |
I ! aA ! abI ! abaA ! abab . |
|
5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3n+2 |
|
|
|
! |
|
! |
|
j |
|
|
! |
|
||||
pRIMER |
3. gRAMMATIKA I |
|
aA , A |
|
|
a |
|
aB , |
B |
|
|
aI POROVDA- |
|||||||
ET QZYK L3 = fa |
|
j n > 0g |
. nAPRIMER, WYWOD SLOWA a |
|
WYGLQDIT |
||||||||||||||
TAK: I ! aA ! aaB ! aaaI |
! aaaaA ! a5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRIMER 4. rEGULQRNAQ GRAMMATIKA S PRAWILAMI |
I |
! |
" j aA , |
||||||||||||||||||||||||
A |
! aB , B ! bC , C |
|
! bD , D ! bE , E ! c j cF , |
F |
! aA |
|||||||||||||||||||||||
POROVDAET QZYK L3 = fa2b3cg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tEOREMA OB OB_EDINENII. eSLI L1 I L2 |
|
| REGULQRNYE QZY- |
|||||||||||||||||||||||||
KI, TO L = L1 [ L2 |
TOVE QWLQETSQ REGULQRNYM QZYKOM. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dOKAZATELXSTWO. pUSTX L1 I L2 POROVDA@TSQ REGULQRNYMI |
|||||||||||||||||||||||||||
GRAMMATIKAMI G1 = (T1; NT1 ; P1) I G2 = (T2; NT2; P2) SOOTWET- |
||||||||||||||||||||||||||||
STWENNO |
. |
mOVNO S^ITATX |
, |
^TO |
|
NT1 \ NT2 |
= |
? |
. |
tOGDA QZYK |
|
L |
PO |
- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ROVDAETSQ GRAMMATIKOJ |
|
G = (T; NT; P) , |
U KOTOROJ |
T = T1 |
[ T2 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
f g [ ~ |
[~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
~ 2 |
|
|
[ |
|
|
|
NA^ALXNYJ SIMWOL |
|
||||||||||||||||
NT = I NT1 |
NT2 , I = NT1 |
|
|
NT2 { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||
P = P1 [ P2 [ P1 [ P2 , GDE P1 |
|
SOSTOIT IZ PRAWIL WIDA I ! a ILI |
||||||||||||||||||||||||||
I ! aA1 , |
|
|
|
|
~ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
, |
||||
PRI^EM I ! a 2 P1 |
ESLI I1 ! a 2 P1 I I ! aA1 2 P1 |
|||||||||||||||||||||||||||
ESLI I1 ! aA1 2 P1 . mNOVESTWO |
~ |
|
STROITSQ ANALOGI^NO IZ P2 . |
|||||||||||||||||||||||||
P2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
zAMETIM, |
^TO MNOVESTWA |
P1 , P2 , |
~ |
|
|
|
~ |
NE PERESEKA@TSQ, PO\- |
||||||||||||||||||||
P1 |
|
I P2 |
||||||||||||||||||||||||||
TOMU PRI PRIMENENII PRAWILA I ! aA1 , GDE A1 |
2 NT1 , WYWODITSQ |
|||||||||||||||||||||||||||
SLOWO IZ QZYKA L1 , A ESLI PRIMENQETSQ PRAWILO I |
! aA2 , GDE |
|||||||||||||||||||||||||||
A2 2 NT2 , TO WYWODITSQ SLOWO IZ QZYKA L2 . tEOREMA DOKAZANA. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
zAME^ANIE. eSLI " 2 |
|
L1 ILI |
" |
2 |
L2 , |
TO " |
|
2 |
L , PO\TOMU NADO |
||||||||||||||||||
ZAMENITX PRAWILA I1 ! |
" |
I I2 |
! |
" |
NA PRAWILO |
|
I |
! " . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
pRIMER 5. rEGULQRNAQ GRAMMATIKA G1 S PRAWILAMI I1 ! aA1 , |
|||||||||||||||||||||||||||
A1 |
! bI1 j b POROVDAET QZYK L1 = fabg+ (SM. PRIMER 2); GRAMMATI- |
|||||||||||||||||||||||||||
KA |
G2 |
S PRAWILAMI I2 ! a j aI2 POROVDAET QZYK L2 = fag+ . qZYK |
||||||||||||||||||||||||||
L1 |
[L2 |
POROVDAETSQ GRAMMATIKOJ G S PRAWILAMI I ! aA1 j a j aI2 , |
||||||||||||||||||||||||||
I1 ! aA1 , A1 ! bI1 j b , I2 ! aj aI2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x4. kONKATENACIQ I ITERACIQ REGULQRNYH QZYKOW |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
tEOREMA O KONKATENACII. eSLI L1 I L2 |
|
| REGULQRNYE QZY- |
|||||||||||||||||||||||||
KI, NE SODERVA]IE PUSTOGO SLOWA |
" , TO L = L1L2 TOVE QWLQETSQ |
|||||||||||||||||||||||||||
REGULQRNYM QZYKOM. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dOKAZATELXSTWO. pUSTX L1 I L2 POROVDA@TSQ REGULQRNYMI |
|||||||||||||||||||||||||||
GRAMMATIKAMI G1 = (T1; NT1 ; P1) I G2 = (T2; NT2; P2) SOOTWET- |
||||||||||||||||||||||||||||
STWENNO |
. |
bUDEM S^ITATX |
, |
|
^TO |
NT1 \ NT2 |
= |
? |
. |
|
tOGDA QZYK |
|
L |
PO |
- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ROVDAETSQ GRAMMATIKOJ |
|
G = (T; NT; P) , |
U KOTOROJ |
T = T1 |
[ T2 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
NT = NT1 [ NT2 |
S NA^ALXNYM SIMWOLOM |
I1 2 NT1 , |
|
^ |
|
[ P2 , |
||||||||||||||||||||||
P = P1 |
||||||||||||||||||||||||||||
60