Метода

x3. oSNOWNYE PRIMITIWNO REKURSIWNYE FUNKCII

TIWNO REKURSIWNA, POSKOLXKU 1) f(0) = c0 = 1 , 2) f(x+ 1) = cx+1 = = c f(x) . tAKIM OBRAZOM, f(x) = R(1; h(x; y)) , GDE h(x; y) = cy {

PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIQ.

dOOPREDELIM FUNKCI@ f(t; x) = tx W TO^KE (0; 0) ZNA^ENIEM, RAWNYM 1.

pRIMER 8. fUNKCIQ f(t; x) = tx PRIMITIWNO REKURSIWNA WWIDU TOGO, ^TO 1) f(t;0) = 1 , 2) f(t; x + 1) = tx+1 = t tx = t f(t; x) .

tAKIM OBRAZOM, f(t; x) = R(1; h(t; x; y)) , GDE h(t; x; y) = ML(t; y) {

PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIQ.

31

x4. pRIMITIWNO REKURSIWNYE PREDIKATY

oPREDELENIE 1. pREDIKAT P (x1; : : : ; xn) NAZYWAETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNYM (P-R), ESLI QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ EGO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ

1; ESLI P (x1; : : : ; xn) = true; 0; ESLI P (x1; : : : ; xn) = false:

x1 6= x2 , x1 < x2 ,

PRIMITIWNO REKURSIWNY; IH HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII MOVNO

f(x) = g1(x)JP1 (x) + : : : + gk(x)JPk (x) , QWLQ@]EJSQ SUPERPOZICIEJ PRIMITIWNO REKURSIWNYH FUNKCIJ.

sLEDSTWIE. fUNKCIQ f(x) , OTLI^NAQ OT 0 LI[X W KONE^NOM ^ISLE TO^EK, QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ; EE MOVNO REALIZOWATX

FORMULOJ f(x) = a1 sgjx ; x1j + a2 sgjx ; x2j + : : : + an sgjx ; xnj ,

GDE ai = f(xi) .

32

x5. oGRANI^ENNYE SUMMY, PROIZWEDENIQ, KWANTORY

tEOREMA 1. eSLI f(t) | PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIQ, TO OGRANI^ENNAQ SUMMA (x) = P f(t) , DOOPREDELENNAQ PRI x = 0 ,

t<x

NAPRIMER, TAK: (0) = 0 , TOVE QWLQETSQ P-R FUNKCIEJ. dOKAZATELXSTWO. iZ RAWESTWA (x + 1) = f(x) + (x) SLEDUET,

^TO (x) = R(0; h(x; y)) , GDE h(x; y) = f(x) + y { PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIQ. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ (x) QWLQETSQ PRI-

x6. oGRANI^ENNYJ OPERATOR NAIMENX[EGO ZNA^ENIQ

oPREDELENIE 1. rEZULXTATOM PRIMENENIQ OGRANI^ENNOGO OPERATORA MINIMIZACII ( -OPERATORA) K PREDIKATU P (t) NAZYWAETSQ

33

t6h(x)

34

T.K. F (x) = f(x; h(x)) POLU^AETSQ SUPERPOZICIEJ IZ P-R FUNKCIJ

f(x; a) = t (g(t) = x) I h(x) .

PRIMITIWNO REKURSIWNOJ.

x7. nUMERACIQ pEANO

pRIMER 1. fUNKCIQ (x) , WY^ISLQ@]AQ KOLI^ESTWO RAZRQDOW W

KURSIWNOJ.

dOKAZATELXSTWO TEOREMY PROWEDEM INDUKCIEJ PO n .

bAZA INDUKCII. 1(x1) QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ FUNK-

CIEJ, T.K. 1(0) = 0 I 1(x1 + 1) = 2 1(x1) + 2 .

{AG INDUKCII. pUSTX n;1(x1; : : : ; xn;1) { P-R FUNKCIQ. zAMETIM, ^TO

n(x1; : : : ; xn;1;0) = 2 n;1(x1; : : : ; xn;1) In(x1; : : : ; xn;1; xn + 1) = 2 n(x1; : : : ; xn;1 ; xn) + 2 ,

T.E. n TAKVE QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ.

oPREDELENIE 1. fUNKCIQ (x; y) , ZNA^ENIQ KOTOROJ ZADANY W TABL. 1 NAZYWAETSQ PEANOWSKOJ.

35

tABLICA 1

|TA FUNKCIQ SLUVIT DLQ NUMERACII WSEH PAR (x; y) ^ISEL IZ RAS[IRENNOGO NATURALXNOGO RQDA N0 . nUMERACIQ NA^INAETSQ S 0 I WED<TSQ PO DIAGONALQM SWERHU WNIZ I SPRAWA NALEWO. qWNO FUNKCI@(x; y) MOVNO ZADATX FORMULOJ

(x; y) = (x + y)(x + y + 1) + x = d;(x + y)(x + y + 1); 2 + x: 2

iZ \TOJ FORMULY WIDNO, ^TO (x; y) { P-R FUNKCIQ. pRONUMERUEM DIAGONALI NA^INAQ S NULQ TAKIM OBRAZOM, ^TO NA

DIAGONALI S NOMEROM 0 LEVIT ^ISLO 0, NA DIAGONALI S NOMEROM 1 LEVAT ^ISLA 1 I 2, NA DIAGONALI S NOMEROM 2 { ^ISLA 3, 4 I 5, I.T.D. rASSMOTRIM FUNKCII (n) { MINIMALXNOE ^ISLO NA DIAGONALI S NOMEROM n I (x) { NOMER DIAGONALI, NA KOTOROJ LEVIT ^ISLO x . fUNKCII (n) I (x) QWLQ@TSQ PRIMITIWNO REKURSIWNYMI, T.K.(n) = (0; n) = d(n(n + 1); 2) , A FUNKCIQ (x) OPREDELQETSQ PO SHEME: (0) = 0 , (x + 1) = (x) + sg (x + 1) ; ( (x) + 1) .

~EREZ I MOVNO WYRAZITX l(x) I r(x) { FUNKCII, KOTORYE PO NOMERU PARY x OPREDELQ@T SAMU PARU, T.E. TAKIE FUNKCII, ^TO

;l(x); r(x) x , l; (x; y) x I r; (x; y) y . dEJSTWITELXNO,

l(x) = x ;. ( (x)) I r(x) = (x) ;. l(x) . sLEDOWATELXNO, FUNKCII l(x) I r(x) TAKVE QWLQ@TSQ PRIMITIWNO REKURSIWNYMI.

tROJKI NUMERU@T S POMO]X@ FUNKCII 3(x; y; z) = (x; (y; z)) . pO NOMERU TROJKI, WY^ISLQEMOMU FUNKCIEJ 3(x; y; z) , MOVNO WOSSTANOWITX \LEMENTY \TOJ TROJKI S POMO]X@ FUNKCIJ t1(x) = l(x) , t2(x) = l(r(x)) I t3(x) = r(r(x)) , KOTORYE UDOWLETWORQ@T RAWEN-

36

tEOREMA 2. eSLI FUNKCII g1(x1 ; : : : ; xn); : : : ; gk(x1; : : : ; xn) I h1(x1; : : : ; xn; y; u1 ; : : : ; uk); : : : ; hk(x1; : : : ; xn; y; u1; : : : ; uk) QWLQ@T-

SQ PRIMITIWNO REKURSIWNYMI, TO BUDUT P-R FUNKCIQMI f1; : : : ; fk , OPREDELQEMYE PO SHEME SOWMESTNOJ REKURSII SLEDU@]IM OBRAZOM:

1)fi(x1; : : : ; xn; 0) = gi(x1; : : : ; xn) ,

2)fi(x1; : : : ; xn; y + 1) =

= hi(x1; : : : ; xn; y; f1(x1; : : : ; xn; y); : : : ; fk(x1; : : : ; xn; y)) , PRI i = 1;2; : : : ; k .

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ k = 3 . oBOZNA^IM ^EREZ x NABOR PEREMENNYH (x1; x2 ; : : : ; xn) I RASSMOT-

RIM FUNKCI@ f(x; y) = 3;f1(x; y); f2(x; y); f3(x; y) . tOGDA

1) f(x; 0) = 3;f1(x;0); f2(x;0); f3(x;0) = 3;g1(x); g2(x); g3(x) , 2) f(x; y + 1) = 3;f1(x; y + 1); f2(x; y + 1); f3(x; y + 1) =

= 3 h1;x; y; f1(x; y); f2(x; y); f3(x; y) ,

h2;x; y; f1(x; y); f2(x; y); f3(x; y) ,

h3;x; y; f1(x; y); f2(x; y); f3(x; y) =

= 3 h1;x; y; t1(f(x; y)); t2(f(x; y)); t3(f(x; y)) ,

h2;x; y; t1(f(x; y)); t2(f(x; y)); t3(f(x; y)) ,

h3;x; y; t1(f(x; y)); t2(f(x; y)); t3(f(x; y)) ,

T.E. f = R(g; h) , GDE g(x) = 3;g1(x); g2(x); g3(x) I

h(x; y; z) = 3 h1;x; y; t1(z); t2(z); t3(z) ;

h2;x; y; t1(z); t2(z); t3(z) ;

h3;x; y; t1(z); t2(z); t3(z) .

o^EWIDNO, ^TO g I h PRIMITIWNO REKURSIWNY, A, ZNA^IT, FUNKCIQ f TOVE PRIMITIWNO REKURSIWNA. oTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCII fi(x; y) = ti(f(x; y)) QWLQ@TSQ PRIMITIWNO REKURSIWNYMI. tEOREMA DOKAZANA.

pRIMER 3. pOSLEDOWATELXNOSTX fIBONA^^I (fn)1n=0 MOVNO ZADATX PO SHEME SOWMESTNOJ REKURSII TAK:

37

1)f(0) = g(0) = 1 ,

2)f(n + 1) = g(n) , g(n + 1) = g(n) + f(n) PRI n > 0 .

x8. ~ASTI^NO REKURSIWNYE FUNKCII. tEZIS ~ER^A

oPREDELENIE 1. rEZULXTATOM PRIMENENIQ NEOGRANI^ENNOGO OPERATORA MINIMIZACII K PREDIKATU P (x1; : : : ; xn; t) NAZYWAETSQ FUNK-

t < y ; W OSTALXNYH SLU^AQH ZNA^ENIE f(x1; : : : ; xn) S^ITAETSQ NEOPREDELENNYM.

oPREDELENIE 2. rEZULXTATOM PRIMENENIQ NEOGRANI^ENNOGO OPERATORA MINIMIZACII K FUNKCII g(t) PO PEREMENNOJ t NAZYWAETSQ FUNKCIQ f(x) = t (g(t) = x) .

pRIMER 1. fUNKCIQ f(x) = t (t + 1 = x) NE OPREDELENA PRI x = 0 , TAKIM OBRAZOM, \TA FUNKCIQ NE QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ.

oPREDELENIE 3. fUNKCI@ BUDEM NAZYWATX ^ASTI^NO REKURSIWNOJ (^-R), ESLI ONA POLU^AETSQ IZ ISHODNYH FUNKCIJ PRIMENENIEM KONE^NOGO ^ISLA OPERATOROW S , R I NEOGRANI^ENNYH - OPERATOROW.

tEZIS ~ER^A. wSQKAQ \FFEKTIWNO WY^ISLIMAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ^ASTI^NO REKURSIWNOJ.

oPREDELENIE 4. ~ASTI^NO REKURSIWNAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ OB]EREKURSIWNOJ (O-R), ESLI ONA OPREDELENA WS@DU NA N0 .

o^EWIDNO, WSQKAQ PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ OB]EREKURSIWNOJ. oBRATNOE, ODNAKO, NEWERNO, T.K. MOVNO PRIWESTI PRIMER O-R FUNKCII, NE QWLQ@]EJSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ.

oPREDELIM FUNKCI@ aKKERMANA A(x) FORMULOJ A(x) = Bx(x) , GDE FUNKCII Bx(t) OPREDELQ@TSQ TAK:

1) B0(t) = 2t ,

2) Bx+1(0) = 1 , Bx+1(t + 1) = Bx(Bx+1(t)) , DLQ t 2 N0 . mOVNO DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ aKKERMANA A(x) QWLQETSQ OB-

]EREKURSIWNOJ, NO NE QWLQETSQ PRIMITIWNO REKURSIWNOJ, T.K. ONA RASTET BYSTREE L@BOJ P-R FUNKCII.

38

g l a w a 3 ma{iny tx`ringa

x1. pONQTIE MA[INY tX@RINGA, PRIMERY

s^ITAETSQ, ^TO ESTX POTENCIALXNO BESKONE^NAQ W OBE STORONY LENTA, RAZBITAQ NA Q^EJKI. w NA^ALXNYJ MOMENT W KONE^NOM ^ISLE Q^EEK ZAPISANY SIMWOLY IZ A , W OSTALXNYH Q^EJKAH ZAPISAN PUSTOJ SIMWOL. mA[INA tX@RINGA IMEET GOLOWKU, KOTORAQ W L@BOJ MOMENT WREMENI OBOZREWAET NEKOTORU@ Q^EJKU.

mA[INA tX@RINGA IMEET UPRAWLQ@]EE USTROJSTWO, KOTOROE MOVET NAHODITXSQ W ODNOM IZ SOSTOQNIJ qi 2 Q . mA[INA tX@RINGA NA^INAET RABOTU W SOSTOQNII q1 I OSTANAWLIWAETSQ, ESLI PEREHODIT W ODNO IZ SOSTOQNIJ q 2 Qf .

{AG RABOTY MA[INY tX@RINGA. eSLI MA[INA tX@RINGA IMEET SOSTOQNIE q 62Qf , A W OBOZREWAEMOJ Q^EJKE ZAPISAN SIMWOL a , TO WYPOLNQETSQ KOMANDA qa ! q0a0s ; PRI \TOM M-T PEREHODIT W SOSTOQNIE q0 , W Q^EJKE NA MESTO a ZAPISYWAETSQ a0 , I GOLOWKA SDWIGAETSQ WLEWO, WPRAWO ILI OSTAETSQ NA MESTE W ZAWISIMOSTI OT SIMWOLA s .

39

zAME^ANIE. ~ASTO W PROGRAMME UKAZYWA@TSQ NE WSE KOMANDY. eSLI DLQ NEKOTOROGO q 2 QnfQf g I NEKOTOROGO a 2 A OTSUTSTWUET KOMANDA S LEWOJ ^ASTX@ qa , TO MOVNO S^ITATX, ^TO EE ROLX IGRAET KOMANDA

oPREDELENIE 2. kONFIGURACIEJ (MA[INNYM SLOWOM) NAZYWA-

VET IMETX PROGRAMMU P , SOSTOQ@]U@ IZ SLEDU@]IH KOMAND:

1)q10 ! q20R { NA^ALO RABOTY, [AG WPRAWO;

2)q21 ! q21R { \TA KOMANDA WYPOLNQETSQ x RAZ, PO NEJ GOLOW-

KA PEREBRASYWAETSQ WPRAWO ^EREZ WSE EDINICY,

TAKIE KOMANDY NAZYWA@TSQ CIKLI^ESKIMI;

PEREHOD W ZAKL@^ITELXNOE SOSTOQNIE q0.

` q001x0 , KOTORAQ PEREBRASYWAET S^ITYWA@]U@ GOLOWKU ^EREZ SLOWO 1x WLEWO, MOVET IMETX PROGRAMMU, SOSTOQ@]U@ IZ SLEDU@]IH KOMAND:

q10 ! q20L , q21 ! q21L , q20 ! q00E .

40