matan_vse_k_ekzamenu_za_1_semestr

Теорема 14 (О двух милиционерах): Пусть и сходящиеся последовательности и сходятся к одному и тому же пределу a. Пусть кроме того последовательность начиная с некоторого номера N* удовлетворяет неравенствам . Тогда Последовательность сходится и её пределом является число a. Доказательство: Из исходных неравенств составим следующие неравенства . Тогда при n ≥ N* выполняется . Выберем произвольное , тогда в силу сходимости последовательностей и должны выполняться неравенства при n ≥ и при n ≥ . Тогда при n ≥ N = max{N*,,} выполняется сразу три неравенства ; ; => , т.е. последовательность сходится и её пределом является число a, ч.т.д.

Монотонные последовательности (определение, примеры). Определение: последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей), если для любого номера, начиная с номера 2, каждый последующий элемент {Xn} не меньше (не больше) предыдущего, т.е. элементы последовательности подчиняются неравенствам: .Вместе неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. Примеры: 1)Последовательность 1,1, - есть невозрастающая последовательность. 2)Последовательность 1,1,2,2….n,n – есть неубывающая последовательность. Если , то последовательность называется возрастающей. Если , то последовательность называется убывающей. Обе эти последовательности являются строго монотонными.

Ограниченные множества, точная верхняя и нижняя грани множества (1-ое и 2-ое определения). Определение: Число М называется верхней (нижней) гранью множества {X}, если каждый элемент этого множества удовлетворяет неравенству X. Определение: Наименьшая из верхних граней множества {x} называется точной верхней гранью, обозначается: =sup{x} — супремум.

Теорема 15: Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограниченна сверху (снизу), то она сходится. Доказательство: Пусть является неубывающая последовательность, тогда для любого – ε найдётся число такое ,что выполняется неравенство: – ε; ; Выберем номера n; ; при n<N. Последовательность является сходящейся. Теорема доказана.

Сходимость последовательности Исследуем сходимость последовательности {}, элемент Покажем, что эта последовательность Для доказательства возрастания последовательности надо сравнить . Распишем выражение для , используя формулу Бинома- Ньютона:+ ++; == 1+) + +…+; Xn+1 =2+)(1+…+; 1; последовательность {} возрастающая. Покажем, что {} является ограниченной сверху последовательностью. Используем следующее неравенства: ; Xn<2+ =1+. Таким образом последовательность {Xn} является возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно по теореме (15) она является сходящейся.

Предельное значение функции, левое и правое предельные значения (определения). Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на множестве {X}. Определение: Число b называется предельным значением функции y=f(x) в точке X=X0 ,если для любой сходящейся к X0 последовательности {Xn} значений аргумента, соответствующая последовательность {f(Xn)} значений функции сходится к b. Символическая запись: Определение: Число b называется предельным значением функции y=f(x) справа (слева) в точке X=X0, если для любой сходящейся к X0 последовательности {Xn} значений аргумента , элементы которой больше (меньше) X0, соответствующая последовательность {f(Xn)} значений функции сходится к b. ; .

Теорема 16. Пусть функция f(x) и g(x) определённая на одном и том же множестве {X}, имеют точки X=X0 предельное значение соответственно в токах b и c. Тогда функции f(x) имеют в точке X₀ предельное значение соответственно b ,b*c,. Доказательство: Выберем произвольную последовательность аргументов {X} сходящуюся к X₀. Тогда соответствующие последовательности {f(Xn)} и {g(Xn)} сходятся к b и c по свойствам сходящихся последовательностей последовательности {f(Xn)}, {f(Xn)*g(Xn)}, {} являются сходящимися к пределам соответственно: (b),b*c, . Теорема доказана.

Бескрнечно малые и бесконечно большие функции (определение). Часто сравнивают бесконечно малые функции со стандартными, например, с функцией . Тогда, если , то считается что бесконечно малая функция имеет в точке x₀ m-тый порядок малости. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x₀ справа (слева), если для любой сходящейся к X₀ последовательности {Xn}, все элементы которой больше (меньше) X₀, соответствующая последовательность {f(Xn)} значение функции является бесконечно большой последовательностью определённого знака. Символическая запись:

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Правило сравнения бесконечно больших функций сходны с правилом сравнения бесконечно малых функций. Пусть функции A(x) u B(x) являются бесконечно большими (положительного знака) в точке X₀ справа, тогда: 1)Функция A(x) считается бесконечно большой в точке X₀ справа большего порядка роста, чем B(x), если выполняется: ; 2)Функция A(x) считается бесконечно большой в точке X₀ справа одинакового порядка роста с B(x),если выполняется: (c - константа) Пример: Сравнить бесконечно большие в точке X₀=0 справа функции: A(x); B(x)=; =1 A(x), B(x) – одинакового порядка роста.

Лемма 2: Пусть в некоторой - окрестности точки X₀ заданы функции f(x),g(x),h(x). Пусть кроме того функции f(x) и g(x) имеют в точке X₀ одинаковое предельное значение, равное b, тогда если в указанной окрестности выполняется неравенство: f(x), то предельное значение функции h(x) существует и равно b. Доказательство: Выберем из - окрестности точки x₀ произвольную последовательность {Xn} сходящуюся к X₀. Тогда по определению последовательности {f(Xn)},{g(Xn)} являются сходящимися к числу b. Кроме этого для элементов последовательностей {f(Xn)},{g(Xn)},{h(Xn)}, выполняются неравенства: тогда в соответствии с теоремой (14) (о двух миллиционерах)последовательность {h(Xn)} является к тому же числу b. Лемма доказана.

Теорема 17(Первый замечательный предел): Предельное значение функции в точке x=0 существует и равно единице, т.е. . Доказательство: Используем следующее построение: ; 0<x<; см. рисунок в лекции (круг): MN = ; , 0<sinx<x<tgx , x<tgx= , sinx<x , , , . Тогда в соответствии с Леммой (2) предельное значение функции существует и равно 1.

Теорема 18.(Второй замечательный предел): Предельное значение функции при x существует и равно e, т.е. . Доказательство: Выберем произвольную бесконечно большую последовательность {Xn}. Случай, когда мы уже рассматривали. Рассмотрим теперь случай, когда не целое. Обозначим целую часть через , т.е. , тогда выполняются очевидные неравенства: ; ; ; =e; = = e.Тогда в соответствии с теоремой(14) последовательность { } является сходящейся (при ). Замечание 1: Предельное значение функции , при x также равно e (x=). Замечание 2: Справедлива и следующая запись второго замечательного предела: = e.

Предельные значения некоторых функций. ; ; ; ;;;

Формулы эквивалентов. ; tg xx; arcsin xx; arctg xx; cos x; ln(1+x);; 1+x; sh x.

Предельные значения выражений вида . Воспользуемся представлением через экспоненту . С помощью этого выражения можно раскрыть неопределенности . Рассмотрим выражение при . . Неопределенности вида , если сделать замену. U= V=ln(u(x)).

Непрерывность функции, непрерывность справа и слева (определения). Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x= , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению функции в точке . Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x= , если предельное значение этой функции справа (слева) в точке существует и равно частному значению функции в точке .

Точки разрыва функции (определение, классификация, примеры). Определение: В точке, в которой не выполняется свойство непрерывности, называется точками разрыва функции. (Например, функция y=sgn(x) имеет разрыв в точке x=0). Классификация точек разрыва: рассмотрим вначале внутренние точки разрыва функции. 1 тип - Устранимый разрыв: Точка называется точкой разрыва функции y=f(x), если в этой точке существует конечное предельное значение функции f(x), но функция в этой точке либо неопределена, либо ее частное значение f() не совпадает с предельным значением f(x) в точке (. (Например, f(x)= в точке =0). 2 тип – Разрыв первого рода (скачок): Точка называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если функция f(x) имеет в точке конечное, но не равное друг другу левое и правое предельное значение (). (Например, f(x)=sgn(x) в точке =0, 3 тип – Разрыв второго рода: Точка чкой разрыва второго рода функции y=f(x), если хотя бы одно одностороннее предельное значение функции в равно или не существует. (Например, f(x)=tg x в точке x=. Для граничных точек области определения имеют смысл точки разрыва второго рода и устранимого разрыва.

Теорема 19: Пусть фунции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве и непрерывны в точке x= . Тогда функции f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(x)0) также непрерывна в точке x=. Доказательства: По определению непрерывности функции f(x) и g(x) имеют предельное значение в точке . Тогда по теореме 16 (о функциях, имеющих предельное значение) и функции f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) также имеют предельное значение в точке . При этом выполняется Ч.т.д.

Определение предельного значения и непрерывности на языке . Определение: Число b называется предельным значением функции f(), если для любого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке , если для любого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Сложная функция и ее непрерывность (определение)Определение: Пусть функция x= задана на множестве представляет собой множество значений этой функции. Пусть кроме того на множестве задана функция y=f(x). Тогда считается, что на множестве {t} задана сложная функция y=f((t))=F(t) аргумента t.

Теорема 20: Пусть функция x=, заданная на множестве и имеющая область значений , непрерывна в точке . Пусть кроме того функция y=f(x), заданная на множестве непрерывна в точке =. Тогда сложная функция непрерывна в точке Доказательства: Выберем произвольную последовательность для n, сходящихся к точке . Тогда, в соответствии с определением, последовательность функции сходится к =. В свою очередь в силу непрерывности функции y=f(x) в точке последовательность функций должна сходиться к f(), то есть = f() = f()=F(). Так как последовательность выбрана произвольно, то это обозначает непрерывность сложной функции F(x) в точке .

Монотонные функции (определение, примеры). Определение: Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любой пары чисел (из этого множества и удовлетворяющие неравенству ) выполняется неравенство f()<f() (f()>f()). Вместе неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Примеры: y=x возрастающая на , y=x sgn (x) убывает на и возрастает на .

Лемма 3: Для того, чтобы строго монотонная на сегменте [a;b] функция y=f(x) была непрерывная, необходимо и достаточно, чтобы любое число γ, заключенное между α=f(a) и β=f(b) было значением функции (без доказательств). Следствие: Пусть функция y=f(x) строго монотонна и непрерывна на сегменте[a;b] и множество значений функции есть сегмент [α;β] (или [β; α]), где α=f(a) и β=f(b). Тогда на сегменте [α;β] (или [β; α]) определяется строго монотонная и непрерывная обратная функция x=(y).

Обратные функции для некоторых элементарных функций. Показательная функция: ; ; x; y. Синус: y=sin x; рассмотрим главное значение для ; x=arcsin y; для x x=Arcsin y =+. Косинус: y=cos x; рассмотрим главное значение для ; x=arccos y; для x x=Arccos y = arccos y +2. Тангенс: y=tg x; рассмотрим главное значение для ; x=arctg y; для x x=Arctg y =arctg y+. Котангенс: y=ctg x; рассмотрим главное значение для ; x=arcctg y; для x x=Arcctg y = arcctg y +2.