matan_vse_k_ekzamenu_za_1_semestr

Комплексные числа (определение, примеры). Два вещественных числа x и y будем называть упорядоченной парой, если указано, какое из этих чисел является первым, какое вторым. Тогда комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y) вещественных чисел, первое из которых x называется действительной частью, а второе y – мнимой частью этого комплексного числа. Записывается комплексное число в виде выражения: z = x + iy. Символ i носит название мнимой единицы и определяется соотношением i² = -1. Примеры: z = 1+3i; z = -4i; z = (2-i)⁴⁵.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) назовём комплексное число z вида z = (x₁+x₂, y₁+y₂) или z = z₁+z₂ = (x₁+x₂)+i(y₁+y₂). Разностью двух комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называется такое комплексное число z, которое в сумме с z₂ даёт z₁ и записывается в виде z = (x₁-x₂, y₁-y₂) или z = z₁-z₂ = (x₁-x₂)+i(y₁-y₂). Произведением двух комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) назовём комплексное число z вида z = (x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁) или z = (x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁). Частным двух комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂), второе из которых не равно нулю, называется такое комплексное число z, которое при умножении на z₂ даёт z₁ и записывается в виде z = или z = = .

Комплексно-сопряженное число. Комплексное число = (x, –y) = x-iy принято называть сопряжённым по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x+iy.

Геометрическое представление комплексного числа. Геометрически комплексное число z = (x, y) представляется в виде точки M или радиус-вектора в плоскости, называемой комплексной плоскостью. В декартовой системе координат точка M и имеют координаты (x, y).

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Если наряду с декартовой системой координат ввести полярную, причём так, чтобы полюс находился в начале O декартовой системы, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления оси Ox, то декартовы координаты (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) любой точки M, как известно, связаны формулами ρ = ; x = ρ∙cos φ; y = ρ∙sin φ; tg φ = . Число z = (x, y) представляется в тригонометрической форме как z = x + iy = (ρ∙cos φ, ρ∙sin φ) = ρ(cos φ+i∙sin φ), где число ρ называют модулем, а угол φ аргументом комплексного числа, причём вместо значения φ можно брать значение φ+2πn , где n = 0,±1, ±2, … Исходя из формулы Эйлера в показательной форме комплексное число представляется как z = ρ∙.

Формула Эйлера. Формула Эйлера представляется в виде выражения = cos φ+i∙sin φ.

Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел. Если перемножаются n равных комплексных чисел, т.е. если комплексное число возводится в степень n, то zⁿ = (ρ∙cos φ, ρ∙sin φ)ⁿ = (ρ∙)ⁿ = ρⁿ∙ = . Извлечение корня степени n – обратная операция возведению в степень n, поэтому = = = ∙ = , где .

Числовые последовательности (определение, ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые). Будем ставить в соответствии числу n из натурального ряда 1,2,3,…,n,… некоторое вещественное число x_n по заданному закону. Тогда множество x₁,x₂,x₃,…,x_n,… пронумерованных чисел называется числовой последовательностью. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу) числом M (числом m), если каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Число M (число m) называется верхней (нижней) гранью числовой последовательности. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон, если она ограничена сверху числом M, а снизу числом m,т.е. каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Последовательность, ограниченная со всех сторон, называется ограниченной последовательностью. Последовательность называется неограниченной, если для любого сколько угодно большого числа найдётся хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется неравенство . Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколько угодно большого найдётся номер N = N(A) такой, что при выполняется неравенство . Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколько угодно малого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство .

Арифметические действия с числовыми последовательностями. Рассмотрим две последовательности и . Суммой двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z₁ = x₁+y₁, z₂ = x₂+y₂,…,z_n = x_n+y_n,… Разностью двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z₁ = x₁-y₁, z₂ = x₂-y₂,…,z_n = x_n-y_n,… Произведением двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z₁ = x₁∙y₁, z₂ = x₂∙y₂,…,z_n = x_n∙y_n,… Частным двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z₁ = x₁/y₁, z₂ = x₂/y₂,…,z_n = x_n/y_n,…

Теорема 1: Сумма двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: Обозначим сумму последовательностей как , т.е. = . Т.к. является бесконечно малой последовательностью, то для любого найдётся номер N₁ такой, что выполняется , при . Аналогично и для . Для любого найдётся номер N₂ такой, что выполняется , при . Обозначим через N = max{N1;N2}. Оценим при . = ≤ + < ε₁ + ε₂ = = ε. < ε, ч.т.д.

Теорема 2: Разность двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: аналогично доказательству теоремы 1 с использованием свойства = ≤ + . Следствие: Любая алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3: Бесконечно малая последовательность является ограниченной. Доказательство: Рассмотрим последовательность . В соответствии с определением для любого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство . ; ;… Получается , , …, ε. Тогда max{, , …,, ε} = A, а для всех n выполняется , таким образом, получили, что ограничена, ч.т.д.

Теорема 4: Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: Т.к. ограниченная последовательность, то должно выполняться . Для бесконечно малой последовательности для любого найдётся номер N, такой, что выполняется . Проведём оценку элементов произведения последовательностей · = < < ·A = ε, следовательно < ε при , а следовательно бесконечно малая, ч.т.д. Следствие: Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5: Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C=0. Доказательство: По условию теоремы = C, где n = 1,2,3… Предположим, что C ≠ 0. Тогда величину > 0 можно принять за ε, т.е. выбрать ε = . По определению для этого ε должно найтись число N(ε) такое, что выполняется неравенство , а следовательно , что равносильно неверному неравенству 1 < , следовательно предположение неверно. Таким образом C = 0, ч.т.д.

Теорема 6: Пусть есть бесконечно большая последовательность, тогда начиная с некоторого номера N* определена последовательность , которая является бесконечно малой. Пусть бесконечно малая последовательность, все элементы которой отличны от нуля. Тогда последовательность есть бесконечно большая последовательность. Доказательство: Т.к. есть бесконечно большая последовательность, то в соответствии с определением для любого найдётся номер N* такой, что при N* выполняется неравенство . > 0, при N*. Следовательно определена последовательность . Выберем теперь . Возьмём . Поскольку бесконечно большая последовательность, то при . Оценим элементы последовательности при . = < = ε. Следовательно < ε при , а значит является бесконечно малой, ч.т.д.

Сходящаяся последовательность и её предел (два определения).

1) Последовательность называется сходящейся к числу a, если последовательность является бесконечно малой, т.е. = . Число a называется пределом последовательности .

2) Последовательность называется сходящейся к числу a, если для любого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство .

Теорема 7: Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Доказательство: Пусть сходящаяся последовательность. Предположим, что она имеет два предела a и b. Тогда справедливо, что ; и b – a = = . Тогда в соответствии с теоремой 5 (если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C=0) получим, что b – a = 0, а значит b = a, ч.т.д.

Теорема 8: Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: Пусть сходящаяся к a последовательность. Тогда справедливо равенство => ; = ≤ + < + A1 = A (т.к. - ограничена). Итак, < A, следовательно последовательность - ограничена, ч.т.д.

Теорема 9: Сумма двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и . Доказательство: Т.к. и сходящиеся последовательности, то справедливы следующие равенства: + a = и + b = . Сложив данные равенства получим, что – (a + b) = = , таким образом, последовательность сходящаяся и её предел равен = + = a + b, ч.т.д.

Теорема 10: Разность двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и . Теорема 11: Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и . Доказательство: Т.к. и сходящиеся последовательности, то справедливы следующие равенства: = a + и = b + . Перемножив данные равенства получим, что · = (a + ( b + ) = = ,т.е. , таким образом, последовательность сходящаяся и её предел равен = · = a · b, ч.т.д.

Лемма 1: Пусть сходящаяся последовательность, предел которой отличен от нуля. Тогда последовательность ограничена. Доказательство: Пусть сходится к числу b≠0, тогда ε = > 0. Для этого ε найдётся номер N(ε) такой, что = . Оценим величину и запишем тождество: b = => ≤ + < , при n ≥ N(ε) => > > 0; . Тогда можно образовать последовательность при n > N(ε). = < = > 0; < , таким образом, последовательность ограничена, ч.т.д.

Теорема 12: Частное двух сходящихся последовательностей и , при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и . Доказательство: Пусть сходится к числу a, а последовательность к числу b.Надо доказать, что последовательность есть бесконечно малая последовательность. = = = = = , таким образом , т.е. последовательность сходится, ч.т.д.

Теорема 13. Пусть сходится к числу a, и пусть начиная с некоторого номера выполняется неравенство , тогда и для предельного значения a справедливо аналогичное неравенство . Доказательство: Докажем для случая . Для предела a могут быть справедливы неравенства . Предположим выполнение , тогда b > a => b – a > 0. Выберем ε = b – a. Для этого ε в силу сходимости найдётся номер N(ε) такой, что = b – a => –(b – a) < < b – a; < b – a => , но это противоречит условию теоремы . Значит наше предположение неверно, а верно , ч.т.д. Следствие 1: Пусть и есть сходящиеся последовательности и пусть начиная с некоторого номера выполняется неравенство . Тогда и для пределов этих последовательностей выполняется неравенство = . Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности принадлежат сегменту [c, d], то и предел a этой последовательности принадлежит [c, d].