Дискретная случайная величина

Определение. СВ называется дискретной, если множество принимаемых ею значений счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим, каким способом может быть задан закон распределения СВ в случае, когда она принимает лишь конечное число значений.

Итак, пусть СВ Х может принимать одно из n различных значений

х₁, х₂, …, х_n.

При этом каждое из этих значений СВ Х принимает с определенной вероятностью – соответственно р₁, р₂, …, р_n.

Иными словами р₁ – вероятность случайного события «случайная величина Х приняла значение х₁», или, более кратко, Х = х₁.

р₂ – вероятность случайного события Х = х₂,

…

р_n – вероятность случайного события Х = х_n.

Иногда удобно закон распределения дискретной СВ записать аналитически, с помощью формулы:

Р_i = P{X = x_i}, i = 1, …, n, …,

определяющей вероятность того, что в результате опыта (испытания) СВ Х примет значение х_i.

Сведем значения, которые может принимать СВ Х, в таблицу.

Х
Р

В первой строке которой указаны значения, принимаемые СВ Х, а во второй строке – их вероятности.

Такая таблица называется таблицей распределения СВ Х.

Обычно числа в первой строке располагают в порядке возрастания. В этом случае таблицу распределения называют рядом распределения.

Говорят, что поведение дискретной случайной величины описывается законом распределения (или рядом распределения) - таблицей, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй — вероятности, с которыми она принимает эти значения:

Х
Р

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Сделаем одно очень важное замечание. Поскольку в результате испытаний СВ Х наверняка примет одно из этих значений, то сумма несовместных событий

{X = x₁} + {X = x₂} + … + {X = x_n}

является достоверным событием, а следовательно, его вероятность равна 1. Поэтому для таблицы распределения любой СВ справедливо равенство: сумма всех вероятностей

р₁ + р₂ + … + р_n = Σp_i = 1.

Математические операции над дискретными случайными величинами

1. «Сдвиг». Пусть имеется дискретная СВ Х, принимающая в зависимости от результата испытания те или иные случайные значения. Если к каждому из этих значений прибавить одно и то же число, например, А, то в результате получим новую СВ - Х + А, принимающую значения (, При этом:

, т.е. с теми же вероятностями, что и СВ Х.

Х	х1	…	хn
Р	р1	…	рn

Х + А	х1 + А	…	хn + А
Р	р1	…	pn

2. Определение. Произведением дискретной СВ на число с называется дискретная СВ сХ, принимающая значения с вероятностями.

3. «Возведение в степень».

Определение. Квадратом (соответственно – m-степенью) дискретной СВ Х называется дискретная СВ, принимающая значения (соответственно -) с вероятностями. Обозначение –Х² (соответственно – X^m).

Построение таблицы значений СВ Х² несколько сложнее. Рассмотрим конкретный пример.

Задача. СВ Х задана таблицей распределения. Определить закон распределения СВ Х².

Х	-1	0	1	2
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение. Действуем аналогичным способом для вычисления Х², т.е. заменяем все значения х_i значениями их квадратов - х_i², и получаем:

Х2	1	0	1	4
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

В первой строке имеются совпадающие значения. Поэтому следует объединить их в одну варианту, сложив соответствующие вероятности.

Х2	1	0	4
Р	0,6	0,3	0,1

Таблицу распределения любой СВ У = f(x) для любой функции f можно построить аналогично. Она строится в два этапа. Сначала вычисляются элементы вспомогательной таблицы.

СВ	f(x1)	f(x2)	…	f(xn)
Р	p1	p2	…	pn

Затем совпадающие значения f(x_i) = f(x_j) для разных значений x_i и x_j (если такие имеются) объединяются в одно, а соответствующие вероятности складываются.

4. Определение. Суммой дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностямии СВY, принимающей значения с вероятностяминазывается дискретная СВZ = Х + Y, принимающая значения с вероятностямидля всех указанных значенийi и j.

5. Определение. Разностью дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностямии СВY, принимающей значения с вероятностяминазывается дискретная СВZ = Х - Y, принимающая значения с вероятностямидля всех указанных значенийi и j.

6. Определение. Произведением дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностямии СВY, принимающей значения с вероятностяминазывается дискретная СВZ = Х·Y, принимающая значения с вероятностямидля всех указанных значенийi и j.

Определение. Две СВ Х и Y называются независимыми, если события

{X = x_i} = A_i и {Y = y_j} = B_j (т.е. законы распределения) независимы для любых и, т.е.

.

В противном случае СВ называются зависимыми.

Несколько СВ называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие значения приняли остальные величины.