Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)

Сочетания - при, т.е. числа…,используются в формуле бинома Ньютона. Их достаточно часто называют биномиальными коэффициентами, поскольку они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона.

1. «Правило симметрии»: для всех m = 0, 1, …, n (записывается: )

«Правило симметрии» удобно использовать в расчетах количества сочетаний , еслиm превышает половину объема исходного множества, т.е. m >

2. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ, т.е.

.

3. Правило Паскаля:

Как вычислять факториал? Формула Стирлинга

Если абсолютная точность не требуется, для вычисления факториала при можно использовать приближённую формулу Стирлинга:

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 3. Тема 3.

Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания

Лекция 3

Задача 1-Т3. Составить различные перестановки из элементов множества Е = {2, 7, 8}. Подсчитайте их число.

Задача 2-Т3. Сколькими способами можно распределить пять должностей между пятью лицами, избранными в президиум спортивного общества.

Задача 3-Т3. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Задача 4-Т3. Сколько различных чисел можно составить из четырех цифр 0, 1, 2, 3, если ни одна из цифр не будет повторяться?

Задача 5-Т3. Сколькими способами можно разложить m = 2 пронумерованных шара в n = 4 пронумерованные корзины так, чтобы в каждой корзине оказалось не более одного шара?

Задача 6-Т3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр 1, 3, 5, 7, 9, если каждую цифру использовать только один раз?

Задача 7-Т3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества D = {а, b, c} и подсчитать их число.

Задача 8-Т3. Найти число размещений из четырех элементов a, b, c, d по два.

Задача 9–Т3. В Президиум собрания избраны 8 человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности Председателя, секретаря и счетчика?

Задача 10-Т3. Сколькими способами можно выбрать из четырех корзин – две?

Задача 11–Т3. Сколькими различными способами можно избрать из 10 человек комиссию в составе трех человек?

Задача 12-Т3 (для самостоятельного решения). Из восьми намеченных кандидатов следует избрать трех счетчиков, которые будут участвовать в переписи населения. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 13-Т3. Сколькими способами можно выбрать из четырех пронумерованных корзин – три шара?

Задача 14-Т3. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {a, b, c}. Подсчитайте их число.

Задача 15-Т3. В лотерее нужно зачеркнуть любые 8 чисел из 40. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 16-Т3. В партии из 23 деталей 10 бракованных. Вынимают наугад две детали из партии. Определить вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

Семинар 3

Задача 1С-Т3. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.

1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что:

а) оба шара белые;

б) хотя бы один из них черный.

Задача 2С-Т3. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Джека Лондона, располагая их:

а) в произвольном порядке;

б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке);

в) так, чтобы I,II и III тома не стояли рядом (в любом порядке).

Задача 3С-Т3. Сколькими способами можно выбрать три цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовые гвоздики?

А если выбрать одну красную гвоздику и две розовые?

Задача 4С-Т3. На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, …, 9. Берут четыре карточки и составляют из цифр, написанных на них, число. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить таким образом?

Задача 5С-Т3 (для самостоятельного решения). Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Задача 6С-Т3. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:

а) получится слово «ЛОМ», если наугад, одну за другой, выбираются три карточки;

б) получится слово «МОЛНИЯ», если наугад, одна за другой, выбираются шесть карточек и располагаются в порядке их появления.

Задача 7С-Т3. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, так, чтобы в каждую дробь входило два числа?

Задача 8С-Т3. Некто забыл нужный ему номер телефона, который состоит из одной из десяти букв и пяти цифр, но он помнит, что в образовании этого номера участвовали цифры 2, 3, 6, 7. Какое наибольшее число проб надо сделать, чтобы дозвониться нужному абоненту?

Задача 9С-Т3. Человек забыл две последние цифры в шестизначном телефонном номере, помнит только, что они были неодинаковые и нечетные. Сколько таких телефонных номеров может быть?

Задача 10С-Т3. В конверте среди 25 карточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлечено 6 карточек. Какова вероятность, что среди них окажется нужная карточка?

Задача 11С-Т3. Сколькими способами можно из 40 человек, поступающих в вуз, создать 4 группы разных специальностей по 10 человек в каждой?

Задача 12С-Т3 (дополнительная). Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.