Теория вероятностей и математическая статистика

Учебные задачи курса

В процессе изучения дисциплины студенты должны:

- приобрести знание основных понятий и фактов теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики,

- овладеть современной терминологией в данных областях;

- научиться практически решать вероятностные задачи, квалифицированно производить статистическую обработку экспериментальных данных.

Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса

Для успешного овладения данной дисциплиной студентам необходимо освоить следующие предметы:

- «Математический анализ» (особенно разделы - дифференцирование функций одной и многих переменных, интегрирование, теория рядов, преобразование Фурье, определенные и кратные интегралы, несобственные интегралы, специальные функции, элементы теории функциональных пространств),

- «Высшая алгебра» (матрицы и определители, линейные пространства, решение систем линейных уравнений).

Раздел I

Элементарная теория вероятностей и случайных процессов

Тема 0. Основные этапы становления теории вероятностей и математической статистики. – 4 часа лекций

В истории развития теории вероятностей выделяют следующие этапы.

1. Предыстория теории вероятностей. Начало этого периода «теряется в дали веков», ставились и решались примитивные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает, идет накопление материала. Этот период заканчивается в 16 веке работами Кардано, Пачоли, Н. Тарталья и др.

2. Возникновение теории вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание. Устанавливаются первые теоремы – теоремы сложения и умножения вероятностей. Начало этого периода связано с именами Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. Этот период продолжается от середины 17 века до начала 18 века. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713). Это первая работа, в которой была строго доказана предельная теорема – простейший случай закона больших чисел. Теорема Бернулли дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы А. Муавра, П.-С. Лапласа, Ф. Гаусса, С.-Д. Пуассона и др. Теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания. Центральной проблемой этого периода является доказательство предельных теорем.

4. Следующий период развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь следует назвать имена П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова. В этот период распространение закона больших чисел и центральной предельной теоремы достигает своих естественных границ. Законы теории вероятностей стали применяться к зависимым случайным величинам. Все это дало возможность приложения теории вероятностей ко многим разделам естествознания, в первую очередь – физике. Возникает статистическая физика, которая развивается во взаимосвязи с теорией вероятности.

5. Современный период теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим естественным наукам, а также технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные части и понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств, а через нее – с другими математическими дисциплинами.

Это обусловило необычайную широту использования теории вероятностей, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми «тонкими» проблемами кибернетики. Первые работы этого периода связаны с работами Э. Бореля, С.Н. Бернштейна, Мизеса. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы 20 века, когда была опубликована и получила всеобщее признание аксиоматика А.Н. Колмогорова.

В последние годы намечаются новые подходы к основным понятиям теории вероятностей, в том числе и с позиций теории информации, теории игр.