Тема 16 – Понятие о биномиальной случайной величине. Основные характеристики биномиального распределения – 2 часа лекции Понятие о биномиальной случайной величине
Пусть в схеме испытаний Бернулли испытание повторяется n раз, причем вероятность «успеха» в одном испытании равна р. Общее число успехов в n испытаниях есть случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n. Вероятность того, что эта СВ примет значение k, равна
Рn(k)
=
pkqn-k
=
pk(1
– p)n-k.
Такую величину будем называть биномиальной и обозначать В(n, p). Она зависит от двух параметров – длины серии n и вероятности «успеха» р.
Для биномиальной случайной величины Х = В(n, p) справедливы соотношения:
- математическое ожидание MX = n·p,
-
дисперсия DX
= n·p·q
или, заменяя q
= 1 – p,
,
- мода МоХ n·p-q ≤ MoХ ≤ n·p+p,
-
коэффициент асимметрии As
=
,
-
коэффициент эксцесса Ex
=
.
В
пределе при n
→ ∞ биномиальное распределение по
своим значениям приближается к нормальному
с параметрами a
= np
и σ =
.
В пределе при n → ∞ и при p → 0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ = n·p.
Вопросы для самоконтроля
1) Приведите примеры классических дискретных случайных величин.
2) Числовые характеристики равномерного закона распределения.
3) Как можно получить распределение Пуассона?
4) В чем состоит, на ваш взгляд, особенность распределения Пуассона?
5) Числовые характеристики биномиального закона распределения.
6) Гипергеометрическое распределение и треугольник Паскаля.
7) Числовые характеристики геометрического закона распределения.
8) Какие классические распределения являются бесконечными?
Вопросы для самоконтроля
1) Как задается нормальный закон распределения?
2) Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.
3) Как изменяется кривая нормального распределения при изменении ее параметров?
4) Какие числовые характеристики нормального распределения совпадают?
5) Как можно находить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение по кривой нормального распределения?
6) Каким образом можно получить асимптотическую формулу Лапласа?
7) «Правило трех сигм».
Вопросы для самоконтроля
1. Какая случайная величина называется непрерывной?
2. Какое другое название имеет дифференциальная функция распределения и почему?
3. Основное свойство дифференциальной функции распределения.
4. Нахождение интегральной функции распределения через дифференциальную.
5. Какие характеристики положения вы знаете?
6. Как находятся характеристики рассеивания?
7. Какие процессы можно описать с помощью показательного закона распределения?
8. Какие числовые характеристики показательного закона распределения совпадают?
Вопросы для контроля
1. Относительная частота и частотный смысл вероятности случайного события. Свойство статистической устойчивости случайных событий.
2. Классическое определение вероятности. Схема шансов. Примеры.
3. Достоверное, невозможное, противоположное и несовместное события. Свойства их вероятностей.
4. Геометрическое определение вероятностей. Задача о встрече. Задача Бюффона.
5. Алгебра событий. Объединение, пересечение разность и дополнение событий.
6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Понятие вероятностного пространства (W, A, R).
7. Вероятность суммы двух случайных событий.
8. Понятие условной вероятности.
9. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых случайных событий.
10. Понятие гипотез. Формула полной вероятности.
11. Формула Байеса.
12. Независимые случайные события. Условие независимости 3-х случайных событий.
13. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение.
14. Предельная теорема Пуассона о редких событиях. Закон Пуассона.
15. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
16. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
17. Закон больших чисел (теорема Бернулли).
18. Понятие интегральной функции распределения случайной величины.
19. Понятие дискретной случайной величины (на примерах).
20. Общие свойства интегральной функции распределения.
21. Непрерывная случайная величина, свойства плотности вероятностей.
22. Плотность вероятностей гауссовой (нормальной) случайной величины.
23. Векторные случайные величины, их совместная функция распределения.
24. Совместная плотность вероятностей 2-х случайных величин. Ее свойства.
25. Независимые случайные величины.
26. Условные функция распределения и плотность вероятностей.
27. Гауссова плотность вероятностей.
28. Плотность вероятностей функции от случайной величины.
29. Плотность вероятностей суммы случайных величин.
30. Определение и основные свойства математического ожидания.
31. Дисперсия и стандарт отклонения случайной величины. Свойства дисперсии.
32. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.
33. Корреляционная матрица и коэффициенты корреляции.
34. Моменты и центральные моменты случайной величины.
35. Характеристическая функция, ее свойства.
36. Кумулянты случайной величины. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
37. Центральная предельная теорема.
38. Основные понятия математической статистики.
39. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценки параметров.
40. Оценка математического ожидания.
41. Оценка дисперсии.
42. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
43. Распределение Стьюдента и его применение в математической статистике.
44.
2
- распределение и его применение в
математической статистике.