10. Коэффициент эксцесса
С помощью момента четвертого порядка получает свою характеристику еще более сложное, чем асимметрия, свойство рядов распределения, называемое эксцессом.
Определение. Коэффициентом эксцесса (коэффициентом «островершинности») дискретной случайной величины Х называется величина Ех(Х), вычисляемая по формуле:
.
Для нормального закона распределения и As = 0 и Ех = 0. Именно поэтому все другие распределения сравниваются с нормальным распределением.
Если Ех > 0, то распределение более островершинное, чем нормальное. Такой эксцесс означает, что в изучаемом ряду значений СВ имеется «ядро», окруженное рассеянным «гало».
Распределения более плосковершинные, чем нормальное, имеют Ех < 0. При существенном отрицательном эксцессе «ядра» выборочных значений нет совершенно.
Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
Задача 1–Т14. Рассмотрим распределение футбольных матчей Первенства России по числу забитых мячей в 1996 году. Представление об этом дает следующая таблица. Вычислить среднюю результативность матчей. Ответ: 2,62 за игру.
|
Число забитых мячей |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Итого |
|
Количество матчей |
30 |
56 |
71 |
59 |
49 |
24 |
12 |
3 |
0 |
2 |
306 |
Задача 2-Т14. На соревнованиях по фигурному катанию 2 фигуристки получили (по шестибальной шкале) оценки судей, представленные в таблице:
|
Номер фигуристки |
Оценки, выставленные судьями | ||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 | |
|
1 |
4,8 |
5,6 |
4,9 |
5,2 |
4,7 |
4,9 |
4,9 |
4,8 |
4,7 |
|
2 |
5,1 |
4,2 |
5,0 |
4,9 |
5,0 |
5,1 |
5,0 |
5,1 |
5,0 |
Какая из фигуристок выступила лучше?
Задача 3-Т14. Имеются:
1) распределение СВ Х – число прочитанных за каникулы книг десятью девочками по частотам (М)
|
Х, книг |
3 |
4 |
5 |
8 |
12 |
|
М, девочек |
3 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2) распределение по частотам СВ Y – число прочитанных за каникулы книг девятью мальчиками того же класса.
|
Y, книг |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
М, мальчиков |
2 |
4 |
1 |
1 |
1 |
Нужно сравнить интерес к чтению девушек и юношей.
Задача 4-Т14. Вычислить медиану выборки: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.
Задача 5–Т14. Найти медиану выборки 20, 9, 13, 1, 4, 11.
Задача 6–Т14. Предлагается следующая азартная игра. Бросают два игральных кубика. Если полученная сумма очков больше 10, то игрок выигрывает 10 копеек, в противном случае он проигрывает 1 копейку. Имеет ли смысл играть в эту игру 12.000.000 партий?
Задача 7–Т14. Предприниматель размышляет над тем, куда лучше вложить деньги – купить киоск для торговли мороженым или палатку для торговли хлебобулочными изделиями. Вложение денег в торговлю мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит годовую прибыль в 5.000 долларов, с вероятностью 0,2 – 10.000 долларов, и с вероятностью 0,3 – 3.000 долларов.
Для торговли хлебобулочными изделиями прогноз таков: 5.500 долларов с вероятностью 0,6; 5.000 долларов с вероятностью 0,3 и 6.500 долларов с вероятностью 0,1. В каком случае (торговля мороженым или хлебобулочными изделиями) математическое ожидание дохода больше?
Задача 8–Т14 СВ Х и У заданы таблично. Вычислить дисперсии величин Х и У.
|
Х |
99 |
101 |
|
|
0,5 |
0,5 |
|
У |
0 |
200 |
|
|
0,5 |
0,5 |
Задача 9–Т14. Равны ли дисперсии случайных величин 2Х и Х + Х?
Задача 10–Т14. На испытательном стенде оружейного завода пристреливают готовые ружья, т.е. уточняют и корректируют их прицел. В таблице приведены измерения горизонтальных отклонений (в сантиметрах) от цели при стрельбе трех ружей. Найти средние, дисперсию результатов испытания для ружей А, Б и В. Какое из ружей более точное?
|
Ружье |
Выстрел | |||||||||
|
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
№6 |
№7 |
№8 |
№9 |
№10 | |
|
Ружье А |
+1,0 |
+1,0 |
+2,0 |
+1,5 |
+2,0 |
+2,0 |
+1,5 |
+1,5 |
+0,5 |
+1,0 |
|
Ружье Б |
+1,0 |
0 |
-1,5 |
+1,5 |
-0,5 |
-1,5 |
+2,0 |
+1,0 |
-1,0 |
+2,0 |
|
Ружье В |
-0,5 |
-1,0 |
0 |
-1,5 |
-1,0 |
+1,0 |
+1,0 |
+1,5 |
+1,0 |
+3,0 |
Задача 11–Т14. Пусть M(X) = 5,6; D(X) = 3,04. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3x + 2.
Задача
12–Т14.
Найти математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
случайной величины
,
заданной рядом распределения:
|
Х |
1 |
2 |
3 |
|
Р |
|
|
|
Задача 13–Т14. В таблице приведен закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти:
а) её числовые характеристики;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что X примет значение меньше M(X);
г) вероятность того, что X примет значение больше 0,5 M(X).
|
Х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
Р |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
Вопросы для самоконтроля
1) Какие характеристики положения вы знаете?
2) Вероятностный смысл моды и медианы.
3) Сколько у случайной величины мод и медиан?
4) Свойства математического ожидания.
5) Всегда ли существует математическое ожидание случайной величины?
6) Что характеризуют центральные моменты?
7) Назовите основные характеристики рассеивания.