Задачи, рассмотренные на Лекции 12. Бином Ньютона
Задача 1-Т12. Используя свойства сочетаний, найти сумму:
.
Задача
2-Т12.
Вычислить
наиболее простым способом.
Задача 3-Т12 (самостоятельно). Вычислить:
а)
;
б)
.
Задача
4-Т12.
С помощью треугольника Паскаля разложить
в многочлен сумму двучленов в шестой
степени
.
Задача 5-Т12. Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать Вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов Вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема?
Задача 6-Т12. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?
Задача 7-Т12. (числа Фибоначчи, 1202 год). Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов?
Задача 8-Т12. Используя свойства сочетаний, найти сумму:
а)
;б)
.
Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
Задача 1Д-Т12. Раскройте скобки в выражении:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Задача
2Д-Т12.
Найдите коэффициент при первой степени
переменной х
у многочлена
:
.
Задача 3Д-Т12. Заполнить столбцы треугольника Паскаля до одиннадцатого включительно. В столбцах с номерами 2, 5, 8 и 11 подсчитать суммы, соответствующие средним группам вершин, составляющим третью часть от их общего количества в данном столбце:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Подсчитать соответствующие вероятности.
Задача 4Д-Т12. По формуле бинома Ньютона раскройте скобки и упростите выражения:
а) (х – 2)2;
б)
(х2
+
)5.
Задача
5Д-Т12.
Докажите тождество:
приk,
n
N,
1 < k
< n.
Задача
6Д-Т12.
Докажите тождество:
приk,
n
N,
1 < k
< n.
Задача 7Д-Т12. Дан бином (2а3 + b)n. Найдите n, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256.
Задача 8Д-Т12. Дан бином (3а – b)n. Найдите n, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 128.
Задача
9Д-Т12.
Найдите член, не содержащий х,
в разложении бинома: (3х
+
)4
Задача
10Д-Т12.
Найдите член, не содержащий х,
в разложении бинома: (х
+
)6
Задача 11Д-Т12. Раскройте скобки и упростите выражения:
а)
(х
-
)5;
б)
(3х
+
)6.
Задача 12Д-Т12. По формуле бинома Ньютона раскройте скобки и упростите выражения:
а) (х + 2)5;
б)
(х
–
)4.
Задача 13Д-Т12. Раскройте скобки и упростите выражения:
а)
(х
-
)6;
б)
Тема 13. Случайные величины (СВ). Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной СВ. Сумма, произведение случайных величин. Независимые случайные величины. Графическое представление данных: полигон, гистограмма, диаграмма. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
Случайная величина (СВ) – это величина, принимающая в результате испытаний то или иное числовое значение, но заранее не известно, какое именно.
Случайные величины обозначаются, как правило, большими латинскими буквами Х, Y и т.д.
С каждой случайной величиной связано некоторое множество чисел – значений, которые она может принимать. Принимаемые СВ значения обозначаются соответствующими малыми буквами: х1, х2, …, у1, у2, …
Например, для СВ Х, Y это будут х, у.
В результате испытаний (например, проведенных по расписанию занятий) эти значения могут встречаться с различной частотой или вероятностью.
Определение. Правило, устанавливающее соответствие (связь) между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Если возможный диапазон значений такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал — непрерывной случайной величиной.
Для полного описания СВ недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющие находить вероятности отдельных значений СВ или множества значений этой СВ, называется законом распределения СВ (или просто – распределением). В этом случае говорят, что «СВ подчиняется данному закону распределения».