Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Существуют две схемы выбора m элементов из множества, состоящего из n элементов:

- без возвращения, когда выбранные элементы после извлечения не возвращаются в исходное множество;

- с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество на каждом шаге выбора.

Схема выбора без возвращений.

Соединения. Виды соединений

Пусть А – совокупность некоторых n объектов (предметов, элементов и пр.) а₁, а₂, … а_n , объединенных некоторым признаком или свойством. Из различных элементов множества А можно образовать группы. Если в каждую группу входит одно и то же количество элементов, например, m (m ≤ n), взятых из множества А, то говорят, что они образуют соединения из n элементов по m в каждом.

В зависимости от того, входят ли в соединение все элементы множества А,- или только часть элементов этого множества, имеет ли значение порядок следования элементов, или порядок следования элементов значения не имеет, под общим именем соединений принято понимать следующие три типа комбинаций: перестановки; размещения; сочетания.

Перестановки

Перестановками называются такие изменения, в результате которых количество выбираемых предметов сохраняется, а порядок их извлечения может изменяться случайным способом.

Определение 1. Соединения, в которые входят все n элементов множества А и которые отличаются только порядком следования элементов, называются перестановками из n элементов. Количество перестановок обозначается и читается «Пэ из эн».

Число перестановок Р из n элементов равно:

Произведение n·(n - 1)·(n - 2)·… ·1 называется факториалом числа n, обозначается символом n!, который читается «эн-факториал».

Принято, что 0! = 1 и 1! = 1.

Размещения

Определение 2. Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n), взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга или составом элементов или порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по m в каждом.

Число таких размещений обозначается символом , читается «А из эн по эм».

Число возможных размещений из n элементов по m в каждом равно произведению m последовательно убывающих на единицу чисел, из которых большее есть n, т.е.

Это еще одна, на мой взгляд, более удобная расчетная формула для Размещений. По определению, перестановки являются частным случаем размещений, когда m = n: Р_n = А.

Сочетания

Сколькими способами можно выбрать из n различных объектов (предметов) m штук?

Определение 3. Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n), взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга по крайней мере одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по m.

Число таких сочетаний обозначается символом илии читается «цэ из эн по эм».

Из определения следует, что сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. составом входящих элементов. Изменение порядка следования элементов внутри одного сочетания не приводит к образованию нового сочетания.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m в каждом выражается формулой

Факториальная запись этой формулы.