Задача 2.

Имеются изделия четырех сортов.

первого сорта .

второго сорта .

третьего сорта.

четвертого сорта.

Для контроля на удачу выбирается 6 изделий . Определить вероятность того что среди них окажется

первосортное

второсортных

третьего сорта

четвертого сорта.

Решение:

Для решения используется гипергеометрическое распределение.

Суммарное число изделий

Суммарное число изделий в выборке

Вероятность:

Задача 5.

В отрезке единичной длины на удачу появляется точка К. Определить вероятность того что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину .

Решение:

Необходимо попасть точкой в отрезок AB длина отрезка АВ равна весь отрезок единичной длины при условии равновероятного попадания в любую точку.

Задача 8.

В двух партиях 81 и 37 % доброкачественных деталей соответственно . На удачу выбирается по одному изделию из каждой партии . Какова вероятность обнаружить среди них .

1. хотя бы одно бракованное.

Решение.

Пусть - событие выбора качественного изделия из первой партии.

- событие выбора качественного изделия из второй партии.

Тогда искомое событие где - не

Вероятность события

2. Два бракованных.

Решение:

Искомое событие

Вероятность события

3. Одно доброкачественное и одно бракованное.

Решение:

Искомое событие

Вероятность события

Задача 11.

Задание:

Урна содержит 9 занумерованных шаров с номерами от 1 до 9 . Шары извлекаются по одному без возвращения . определить вероятность событий:

. Номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, 3 ...

Решение:

Вероятность правильного выбора первого шара второго шара и так далее так как в урне всегда присутствует только один шар с нужным номером . Общая вероятность равна

. нет ни одного совпадения номера шара с порядком извлечения.

Решение:

Рассмотрим вероятность события когда шар извлекается в соответствии с номером.

Так при первом выборе вероятность выбрать шар с нужным номером (нужный это соответствующий порядку извлечения) равна

где -число шаров в совокупности. Так как выбирается один шар из .

Но при выборе второго шара нужно учесть вероятность того что нужный шар мог быть взят при первом выборе и суммарная вероятность для шара быть не выбранным в прошлый раз и выбранным в этот равна:

соответственно для третьего раза:

и так далее .Соответственно для любого номера шара вероятность быть не выбранным равна

Полная вероятность для урны с шарами:

При равном 9:

. Хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения (событие B).

Решение:

Противоположным является событие в котором размещение не содержит элементов которые находятся на своих местах , а это также 1 вариант в множестве размещений

. Найти предельные значения вероятностей при числе шаров

Решение:

при

Задача 14.

Задание.

В альбоме из марок чистых марок и гашеных . Из них на удачу выбирается 2 марки (любых) и подвергаются спец гашению после чего возвращаются обратно. Затем вновь наудачу извлекается 3 марки . Определить вероятность того что все 3 марки чистые.

Решение:

Пусть выбор для спец гашения одной чистой марки это событие

двух чистых марок это событие

ни одной чистой марки это событие

Пусть выбор 3 чистых марок при наличии чистых марок это событие

Тогда событие выбора 3 чистых марок равно :

для вычисления вероятностей используется гипергеометрическое распределение :

при первом выборе:

при втором выборе:

Задача 17.

Задание:

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0.4 .Куплено 13 билетов .Найти наиболее вероятное число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

Допустим имеется билетов и из них выигрышных. Всего существует размещений этих билетов .Вероятность обнаружить какое либо из этих размещений равна где -вероятность позитивного исхода а -вероятность негативного исхода. и полная вероятность обнаружить выигрышных билета равна в пачке из билетов

отсюда можно вычислить вероятности:

Задача 20.

Задание:

Вероятность наступления некоторого события в серии из независимых экспериментов равна 0.6 .Определить вероятность того что число наступлений события удовлетворяет неравенствам:

Решение:

n от 40 до 50.

В прошлой задаче была получена формула для нахождения вероятности обнаружить позитивных результата в наборе из проб. Здесь . Вероятность зафиксировать от 40 до 50 событий равна:

n до 40

n до 50

Задача 23.

Задание:

По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Решение:

1. Математическое ожидание.

По определению:

2. Дисперсия.

По определению:

3. Характеристическая функция.

Задача 26.

Задание:

Случайная величина имеет плотность распределения другая случайная величина связана с функциональной зависимостью . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Решение:

1. Математическое ожидание.

По определению:

2. Дисперсия.

По определению:

Задача 29.

Задание:

По данной плотности распределения двумерной случайной величины найти плотность распределения случайной величины однозначно связанной с соотношениями

Решение:

Пусть искомое распределение тогда должно выполнятся условие:

то есть:

где

тогда:

что вполне аналогично ковариантной замене координат.

Задача 32.

Условие:

Случайная величина может с одинаковой вероятностью принимать одно из двух значений : или .Выяснить удовлетворяет ли последовательность попарно независимых случайных величин закону больших чисел.

Решение:

1) для равного .

математическое ожидание

следовательно необходимо доказать:

будем рассматривать функцию как случайную величину . По условию каждое значение принимается с равной вероятностью. В пределе величину можно рассматривать как непрерывную. Величина очевидно удовлетворяет условию:

обе эти ограничивающие последовательности сходятся к 0 следовательно в пределе может принимать только значение 0 с вероятностью 1. То есть система удовлетворяет закону больших чисел.

1) для равного .

математическое ожидание

следовательно необходимо доказать:

будем рассматривать функцию как случайную величину . По условию каждое значение принимается с равной вероятностью. В пределе величину можно рассматривать как непрерывную. Величина очевидно удовлетворяет условию:

обе эти ограничивающие последовательности расходятся следовательно в пределе распределена по бесконечному интервалу и принимает значение 0 с вероятностью 0.

Задача 35.

Условие:

Известно что случайная величина распределена по биномиальному закону неизвестным считается параметр используя метод наибольшего правдоподобия найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .

Решение:

функция правдоподобия имеет вид:

где

критическая точка уравнения правдоподобия: