Shpory_1

30. Решение линейных уравнений с частными произ.

Рассмотрим уравнение в предположении, что все коэффициенты определены в некоторой области D пространства , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём в D. Введём вектор . Составим вектор и тогда уравнение примет вид: если – решение уравнения , то производная этого решения по направлению в каждой точке равна 0.

задаёт векторное поле в области D. Векторные линии этого векторного поля являются фазовыми траекториями системы уравнений – первый интеграл системы . Мы установили: всякое решение уравнения является первым интегралом системы . Верно и обратное: всякий первый интеграл системы является решением уравнения , следовательно, чтобы описать всё множество решений этого уравнения достаточно описать множество первых интегралов системы .

Система называется характеристической системой уравнения .Фазовые траектории этой системы называется характеристиками этого уравнения.

Через любую точку области D проходит единственная характеристика (система автономна). Точек покоя эта система не имеет. В этом случае всякая точка области D является регулярной.

Для того, чтобы описать все первые интегралы системы , необходимо получить полный набор функционально независимых первых интегралов . Отметим, что функционально независимы, если ранг матрицы . Для системы , состоящей из n уравнений, полный набор состоит из n функционалов вида . Если рассматриваются первые интегралы вида , то полный набор состоит из первого интеграла. В общем случае для наперёд заданной области D полный набор первых интегралов может и не существовать. Однако справедливо следующее утверждение: для любой нерегулярной точки найдется окрестность, в которой существует полный набор функционально независимых первых интегралов. Пусть D – такая окрестность, в котором существует полный набор первых интегралов. Следовательно, имеем первые интегралы , следовательно, для любого первого интеграла справедливо представление: , где F – некоторая функции, следовательно, любое решение уравнения представляется в виде . Эта формула задаёт общее решение уравнения при произвольной дифференцируемой функции F.

Характеристическую систему удобно представлять в форме: .

31. Решение квазилинейных уравнений

Рассмотрим уравнение в предположении, что и определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём в D. Сопоставим этому уравнению вспомогательное линейное уравнение . Здесь . Это уравнение уже рассмотрено в предыдущем параграфе, следовательно, можно написать его общее решение. Оно получается в неявном виде: .

Составим характеристическую систему для этого уравнения: . Пусть – функционально независимые первые интегралы этой системы. Тогда – общее решение уравнения.

Пусть – решение уравнения и пусть уравнение определяет некоторую функцию в (пространстве x), причём . Тогда – решение первого уравнения.

Приведённая теорема устанавливает связь между решениями уравнений и . Решения первого уравнения могут использоваться для неявного задания решений уравнения второго уравнения. Если – решение первого уравнения, то конечное уравнение определяет решение второго уравнения. Множество решений первого уравнения представляется функцией , следовательно, множество решений второго уравнения можно описать решениями уравнения , где F – произвольная функция. Следует иметь в виду, что функция F должна обеспечить возможность разрешения такого уравнения (см. теорему о неявной функции). На даже в этом случае мы не можем утверждать, что таким образом описываются все решения уравнения . Это уравнение может иметь т.н. специальные решения, не допускающие такого представления.

Характеристическая система, записанная для вспомогательного уравнения называется характеристической системой исходного уравнения. Через каждую точку в области проходит единственная характеристика уравнения . В отличие от предыдущего параграфа, характеристики здесь являются линиями в пространстве переменных . Можно показать, что если через какую-либо точку интегральной поверхности проходит характеристика, то вся эта характеристика лежит на интегральной поверхности. Интегральная поверхность как бы «соткана» из характеристик.

32Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений

Рассмотрим уравнение , предполагая, что и определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D и в D. Можно осуществить выбор решения этого уравнения, подчинив его каким-либо дополнительным условиям. В простейшем случае такими условиями могут быть условия Коши. Рассмотрим постановку задачи Коши. Пусть в пространстве x задана гиперповерхность S: и пусть в точке этой гиперповерхности определена функция . Дополним уравнение условием: . Имеем задачу Коши. Решить её значит найти решение уравнения , которое в точке гиперповерхности S совпадает с заданной функцией . Нас интересует интегральная поверхность этого уравнения, содержащая гиперповерхность S относительно функции .

Заметим, что в общем случае задача Коши может оказаться разрешимой однозначно, разрешимой, но не однозначно, или неразрешимой. Всё зависит от выбора гиперповерхности S и начальной функции . Следует иметь в виду, что при сколь угодно гладкой функции решение может и не существовать.

Простейшим методом решения задачи Коши является использование общего решения уравнения с последующим удовлетворением начальных условий (если его удаётся построить).

Дополнение: решение уравнений с помощью рядов.

Рассмотрим уравнение в окрестности точки .

Пусть коэффициенты и аналитичны в окрестности точки , причём . Тогда решения уравнения аналитичны в окрестности точки и могут быть построены в виде ряда .

Аналитичность означает сходимость ряда Тейлора в окрестности точки . Для нахождения коэффициентов разложения решения этого уравнения степенной ряд формально подставляется в уравнение и собираются коэффициенты при одинаковых степенях. Получается некоторое рекуррентное соотношение, из которого можно найти коэффициенты.

Пусть коэффициенты уравнения аналитичны в окрестности точки , причём , где имеет в точке нуль порядка (если ), имеет в точке нуль порядка (если ). Тогда это уравнение имеет по крайней мере одно решение, представляемое обобщённым степенным рядом , где  – любая постоянная.

Рассмотрим для примера уравнение Бесселя -го порядка: . Здесь . Можно искать решение в виде обобщённого ряда , следовательно, решения такого вида существуют при – функция Бесселя -го порядка. Аналогично . При дробных  функции и линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР: . При целых , следовательно, они линейно зависимы.

В качестве второго линейного независимого решения выбираем функцию Неймана . Определим её при дробных – дробное. Функции и линейно независимы при , как целых, так и дробных, следовательно, они образуют ФСР и общее решение: .

14. Теорема об общем решении неоднородного линейного ур-ия порядка

Рассмотрим неоднородное уравнение .

Пусть – ФСР уравнения – любое частное решение неоднородного уравнения . Тогда общее решение уравнения представляется в виде .

Пусть – произвольное решение уравнения . Имеем два решения: и , следовательно, – решение соответствующего однородного уравнения существуют постоянные , при которых , т.е. . Т.к. – произвольно, то все решения можно представить так: .

1. Общее решение неоднородного линейного уравнения представляется суммой частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

2. Общее решение неоднородного линейного уравнения можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.

15. Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.

Если частное решение подобрать не удаётся, это уравнение можно решить методом вариации произвольных постоянных:

Положим, что ФСР соответствующего однородного уравнения построена. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: . Варьируем произвольные постоянные:. Будем искать решение уравнения в виде : вычисляем производную , и требуем, чтобы . Вычисляем вторую производную: , и требуем, чтобы . …. Вычисляем -ю производную: , и требуем, чтобы . Вычисляем n-ю производную: Подставим теперь вычисленные производные в уравнение: . Т.к. , то . Соберём все полученные соотношения в систему: . В результате мы имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно . Это неоднородная система с невырожденной матрицей, т.к. её определитель совпадает с (т.к. – ФСР), следовательно, система имеет единственное решение при любой функции . Пусть это решение представляется в виде . Тогда . Подставляя эти функции в формулу , получим: . Уточним вид функции . Решая систему по правилу Крамера, замечаем, что , т.е. определяется только . В результате имеем: , где . Функция называется функцией Коши. – частное решение неоднородного уравнения, но в то же время – решение соответствующего однородного уравнения, если её рассматривать как функцию x при фиксированном s. При этом её можно получить, решая задачу Коши для однородного уравнения с начальными условиями при .Если рассматривается уравнение , то в системе в последнем уравнении следует заменить на .