Климушев Н.К. Прудникова О.М. ОНИ

51

отношением. При одновременном исследовании трех и более случайных величин применяется множественная корреляция.

Имея самостоятельное значение, определяемое целью исследования, результаты выборочных испытаний представляют собой ту исходную информацию, на основе которой могут делаться вероятностные заключения о принадлежности выборки к той или иной генеральной совокупности с соответствующим законом и параметрами распределения.

Напомним, что случайная величина считается заданной и может быть полностью описана, если известны закон и параметры ее распределения. Эти законы и параметры устанавливаются на основе анализа генеральной совокупности результатов, которые оцениваются по данным выборочных испытаний.

Заключения о генеральной совокупности результатов выборки по своей природе являются вероятностными, на стадии обсуждения они формируются в виде статических гипотез – предположений о генеральной совокупности, из которой извлекается выборка.

Статистические гипотезы классифицируют на гипотезы о законах и параметрах распределения. Гипотеза о предполагаемом законе распределения проверяется с помощью критериев согласия (соответствия), гипотеза о значениях параметров распределения – с помощью критериев значимости.

Общая схема выдвижения гипотезы, например о параметрах распределения, выглядит следующим образом. В результате измерений, проведенных над

выборками n1 и n2, найдены два значения Θ~1 и Θ~2 некоторого выборочного параметра Θ. Причины, вызвавшие расхождение, неизвестны.

Рассматривая значения Θ~1 и Θ~2 в качестве оценок генеральных парамет-

ров Θ1 и Θ2 , можно высказать гипотезу, что различия между Θ~1 и Θ2 случайное , на самом деле выборки n1 и n2 принадлежат одной и той же генеральной совокупности , в силу чего можно предположить, что Θ1 = Θ2 . Такое предположение называется нулевой гипотезой и обозначается через Н0. Для проверки

~ ~

этой гипотезы необходимо выяснить, значимо ли расхождение между Θ1 и Θ2 в условиях нулевой гипотезы. С этой целью обычно исследуют случайную вели-

~ ~

чину ∆Θ = Θ1 −Θ2 и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля.

Статистика, с помощью которой проверяется гипотеза, называется кри-

терием проверки гипотез.

52

Все возможные значения подобных статистик составляют две области: область принятия нулевой гипотезы и критическую область.

Проверка гипотезы сводится к выяснению вопроса, в какую область попадает значение используемой статистики. Если оно попадает в критическую область, то гипотеза отвергается, если не попадает – гипотеза принимается, как не противоречащая результатам эксперимента.

Поскольку решения основываются на статистиках, полученных в результате выборочных испытаний, то при их выработке могут быть допущены два рода ошибок: гипотеза отклоняется, когда она верна (ошибка первого рода), и гипотеза принимается, тогда как она неверна (ошибка второго рода).

Вероятность сделать ошибку первого рода, т.е. отклонить правильную гипотезу, называется уровнем значимости критерия и обозначается через q.

Значение статистики является значимым, если ее вероятность меньше, чем принятый уровень значимости. Чем выше уровень значимости, тем он «жестче», ибо тем большее число результатов нельзя рассматривать как случайные.

На практике чаще всего применяют значения q, равные 0,05. Это так называемый 5% -й уровень значимости. В этом случае доверительная вероятность p = 1 – q составляет 0,95. Для более уверенных заключений для q задают вероятность 0,01.

Вероятность совершить ошибку второго рода, т.е. принять неверную гипотезу, связана с понятием мощности критерия – вероятности отклонить неверную гипотезу, равной 1− β .

Уровень значимости q связан с мощностью критерия 1− β . При любом постоянном объеме выборки вероятность совершить ошибку первого рода можно снизить, уменьшая уровень значимости q. Однако при этом растет вероятность β допустить ошибку второго рода, т.е. падает мощность критерия. Ситуация противоречивая, и единственным выходом из нее является увеличение объема выборки.

Вид критической области полностью зависит от выбранного уровня значимости и характера альтернативной гипотезы На, т.е. гипотезы, конкурирующей с нулевой, в пользу которой склоняется исследователь при отклонении нулевой гипотезы.

Различают двусторонние и односторонние критерии проверки статистических гипотез. Двусторонний критерий применяется в том случае, когда про-

54

ют, т.е. нормальный закон распределения результатов выборочных измерений возможен.

Наряду с критерием Пирсона, для проверки гипотез о законах распределения применяются также критерии соответствия Колмогорова, Смирнова и др.

Критерий оценки равенства средних. Проверка гипотезы о равенстве двух средних (центров распределения) имеет важное практическое значение, поскольку речь идет об истинном значении результатов измерения. Например, если в результате определения физико-механических характеристик двух материалов в одних и тех же условиях обнаружено различие в значениях их средних, то естественно возникает вопрос о причинах, вызвавших различие. Является ли различие результатом влияния случайных факторов или же проявилось влияние каких-либо систематических ошибок. Этот вопрос особенно важно выяснить, если различие незначительно.

Для решения задачи предполагается, что для двух независимых выборок

где число степеней свободы k = n1 + n2 – 2, и сравнении вычисленного и табличного значений коэффициента Стьюдента.

Проверяются неравенства t >tq.k и t ≤tq.k . Если удовлетворяется первое

неравенство, то с надежностью p = 1 – q можно считать расхождение средних значимым (неслучайным). Если справедливо второе неравенство, то можно признать допустимость справедливости гипотезы о равенстве средних и только.

Пример 1. При строительстве лесовозной автомагистрали с цементобетонным покрытием использован цемент марок 400 и 500. Проверить нулевую гипотезу о равенстве выборочных средних прочности бетонов, изготовленных на цементе марки 400 (s1 = 4,12 Мпа при количестве образцов n1 = 180) и цементе марки 500 (s2 = 4,37 Мпа при количестве образцов n2 = 89), если х1 = 22 МПа,

а х2 = 24 Мпа.

Решение. Выполним расчет критерия по формуле (35). Получим t = 5,67. При заданном q = 0,05 находим табличное значение t(0,05;267) = 1,97. Следова-

55

тельно, нулевая гипотеза отклоняется и принимается, что при использовании цемента марки 400 фактическая прочность бетона снижается.

Критерии сравнения дисперсий. Одной из важнейших задач статистической обработки результатов является сравнение выборочных дисперсий, поскольку измеряемая дисперсией величина рассеивания характеризует точность машин и приборов, параметров технологических процессов, погрешность показаний измерительных приборов и т.п.

При проверке однородности двух дисперсий вопрос ставится так: проведено m серий (от 2 до 5) одинаковых опытов, в каждой из которых сделано n измерений (обычно 4-5). Полученные результаты характеризуются различной дисперсией. Можно ли сравниваемые выборочные дисперсии отнести к одной и той же генеральной совокупности, считая расхождение между ними случайным в пределах принятой доверительной вероятности?

Нулевая гипотеза предполагает равенство дисперсий и относит все результаты к одной и той же генеральной совокупности.

Простейшим критерием проверки при нормальных распределениях является критерий значимости Фишера (F-критерий)

F = max s2 / min s2. (36) F-критерий дает наилучшие оценки при малых выборках, и при выбранном уровне значимости его значение определяется степенями свободы числителя k1 = n1 – 1 и знаменателя k2 = n 2 – 1. Если в результате сравнения окажется, что F > Fq,k1k2 , то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается, если F ≤ Fq,k1k2 , то

выборочные результаты можно отнести к одной и той же генеральной совокупности.

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и во всех выборках получено одинаковое количество результатов, то дисперсии сравниваются с помощью критерия Кохрена

m

∑si2 – сумма дисперсий всех m выборок;

i=1

i– номер выборки.

Втаблицах приведены значения Gmax в зависимости от числа выборок m и числа степеней свободы k = n – 1 (n – объем выборки). Если окажется, что

56

Gmax>Gq, то нулевую гипотезу нужно отбросить и расхождение между дисперсиями считать значимым.

Дисперсии могут также сравниваться с помощью критерия Пирсона χ2 . Пример 2. Проводится проверка точности измерения длин сортиментов измерительным устройством харвестера новой конструкции. По четырем независимым выборкам одинакового объема n = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область – правосторонняя). Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия Кохрена – отношение

наибольшей исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий:

Gнабл = 0,40 / (0,21 + 0,25 + 0,34 + 0,40) = 0,333.

Найдем по таблице критических точек распределения Кохрена по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k = n – 1 = 17 – 1 = 16 и числу выбо-

рок m = 4 критическую точку Gкр(0,05; 16; 4) = 0,4366.

Так как Gнабл < Gкр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

Критерий проверки грубой ошибки. Грубые ошибки исключаются в ре-

зультате проверки нулевой гипотезы о том, что предполагаемая грубая ошибка принадлежит той же выборочной совокупности, что и остальные n – 1 результатов.

где x* - предполагаемая наибольшая или наименьшая грубая ошибка. Статистика t имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свобо-

ды k = n – 1. Критерий проверки применяют односторонний. Если окажется, что t>tq.k , то расхождение является значимым и x* является грубой ошибкой.

Пример 3. Проводится проверка точности сброски сортиментов на автоматизированном транспортере с синхронно-следящим устройством управления. В результате семи измерений пути, проходимого сортиментом, получены зна-

t = 5,43. Находим табличное значение t(0,05; 5) = 3,04. Поскольку 5,43 > 3,04, значение х0 = 25,5 является грубой ошибкой.

57

Критерий проверки значимости коэффициента корреляции. Коэффици-

ент корреляции ρ обычно неизвестен. Его точечной оценкой является выборочный коэффициент корреляции r. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, выборочный коэффициент корреляции должен быть проверен на значимость. С этой целью проверяется нулевая гипотеза об отсутствии корреляционной связи: ρ = 0. При этом двумерное распределение случайных величин Х и У предполагается нормальным.

Вычисляют статистику t = r (n −2)/(1−r2 ) , которая имеет распределе-

ние Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости q и числу k по таблицам t-распределения Стьюдента находят критическое значение tq.k, удовлетворяющее условию P( t ≥tq,k ) = q . Если

t ≥tq,k , то нулевую гипотезу об отсутствии корреляционной связи между случайными величинами Х и У следует отвергнуть и считать, что случайные величины зависимы. При t <tq,k оснований отвергать нулевую гипотезу нет.

Таким образом, проверка статистических гипотез фактически является проверкой экспериментальных результатов на достоверность и воспроизводимость. Она обязательна и наряду с современной трактовкой статистической природы явлений дает исследователю важные методологические сведения по планированию и управлению экспериментом. Эта информация касается выбора оптимального количества измерений, их диапазона и повышения точности, определения новых параметров, исключения влияния второстепенных факторов и т.п.

58

8. Оформление результатов научного исследования

Незаписанная мысль – потерянный клад.

Д. Менделеев Только кончая задуманное сочинение, мы уясняем себе, с чего нам следовало его начинать. Блез Паскаль

Любые результаты научно-исследовательской деятельности требуют соответствующего оформления. В процессе литературного оформления результатов творческого труда необходимо соблюдать определенные требования, предъявляемые к содержанию научной рукописи. Особенно важны ясность изложения, систематичность и последовательность в подаче материала.

Текст рукописи следует делить на абзацы, что облегчает чтение и усвоение текста. Критерием такого деления является смысл написанного – каждый абзац включает самостоятельную, законченную по смыслу мысль, содержащуюся в одном или нескольких предложениях.

В рукописи следует избегать повторений, не допускать перехода к новой мысли, пока первая полностью не закончена. Не следует допускать в рукописи растянутые фразы с обилием придаточных предложений, вводных слов и фраз. Следует писать по возможности краткими и ясными для понимания предложениями. Текст лучше воспринимается, если в нем исключены тавтологии, частое повторение одних и тех же слов и выражений.

Изложение должно быть беспристрастным, включать критическую оценку существующих точек зрения, изложенных в других работах, особенно если эти факты не в пользу автора. В тексте желательно делать меньше ссылок на себя, но если это необходимо, то употреблять выражения в третьем лице: автор полагает, по нашему мнению и т.п.

Не рекомендуется перегружать рукопись цифрами, цитатами, иллюстрациями. Однако не следует и отказываться совсем от такого материала, т.к. по нему можно проверить результаты исследований. Весь вспомогательный материал лучше привести в отчете в виде приложений. Цитируемые в рукописи места должны иметь точные ссылки на источники.

Необходимо соблюдать единство условных обозначений и допускаемых сокращений слов, которые соответствовали бы стандартам. Сведения об этих

59

стандартах и сокращениях имеются в справочных изданиях, энциклопедиях, словарях. Если же используются нестандартные сокращения, присущие данной теме, то в отчете целесообразно дать сводку сокращений отдельной таблицей в начале отчета.

При написании научного отчета, доклада, статьи целесообразно придерживаться следующего общего плана изложения.

Вначале продумывается название работы, которое должно быть кратким, определенным, отвечающим содержанию работы.

Оглавление (содержание) призвано раскрыть в краткой форме содержание работы путем обозначения основных разделов, частей, глав и других компонентов рукописи.

Иногда при оформлении научной работы возникает необходимость дать предисловие. В нем излагаются внешние предпосылки создания научного труда: чем вызвано его появление, когда и где была выполнена работа, перечисляются организации и лица, оказывавшие содействие при выполнении данной работы.

Вкратком вступлении (введении) обозначается общий круг проблем, дается постановка основного вопроса исследования с тем, чтобы облегчить усвоение изложенного материала. В таком вступлении определяются значение проблемы, ее актуальность, цели и задачи, поставленные автором при написании научной работы, состояние проблемы на данный момент. Не следует при этом затрагивать факты и выводы, излагаемые в последующих разделах научной работы.

Вслед за вступлением дается краткий обзор литературы по рассматриваемому вопросу.

Восновное содержание работы включаются материалы, методы, экспериментальные данные, обобщения и выводы самого исследования. При написании этого раздела необходимо представить себе вопросы по предлагаемому материалу, которые могут прежде всего заинтересовать читателя и дать по ним исчерпывающие ответы. Особое внимание следует обращать на точность используемых в тексте слов и выражений, не допускать возможности двусмысленного их толкования.

Выводы должны отвечать только тому материалу, который изложен в работе. Пишутся выводы в конце работы в виде кратко сформулированных и пронумерованных отдельных тезисов. В выводах надо идти от частных к более общим и важным положениям.

60

Взаключении дается обобщение наиболее существенных положений научного исследования, подводятся его итоги, показывается справедливость выдвинутых автором новых положений, а также формулируются вопросы, которые еще требуют разрешения.

Вконце работы приводится перечень литературных источников. Результаты научно-исследовательской деятельности могут быть изложе-

ны в виде отчета, научной статьи, доклада, монографии, диссертации, заявки на предполагаемое изобретение и т.д.

Монография – научное произведение, в котором изложен итог всестороннего исследования определенной темы или проблемы, выполненное одним или несколькими авторами.

В статье излагаются результаты, полученные по конкретному вопросу, имеющему определенное научное и практическое значение. Статьи публикуют в научных журналах или сборниках научных трудов.

Учебник – учебное издание, которое содержит систематизированное изложение определенной учебной дисциплины в соответствии с государственным образовательным стандартом.

Учебное пособие – учебное издание, дополняющее или заменяющее учебник и соответствующее государственному образовательному стандарту.

Диссертация. Диссертация в форме рукописи – это особый вид научного произведения, в котором отражаются результаты научного исследования. Диссертация в системе науки выполняет квалификационную функцию, т.е. готовится с целью публичной защиты и получения ученой или академической степени. Именно защита позволяет судить, насколько полно отражены и обоснованы содержащиеся в ней положения, выводы и рекомендации, их научная новизна и практическая значимость. Совокупность полученных в такой работе результатов свидетельствует о вкладе диссертанта в науку, демонстрирует уровень его научной квалификации и прежде всего умение самостоятельно вести научный поиск и решать конкретные научные задачи. В настоящее время в РФ существуют ученые степени кандидата и доктора наук и академическая степень магистра. В структуре современного российского высшего образования степень магистра следует по научному уровню за степенью бакалавра и предшествует степени кандидата наук.

Докторская диссертация является квалификационной научной работой, «в которой на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как