шпора матан 2

16. Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опеределяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия на плоскости Oxy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

17. Частные приращения и частные производные. Частные производные второго и высших порядков.

Частное приращение функции Z переменной y по переменной x:

ΔxZ = f(x+Δx, y)-f(x,y)

Частное приращение функции Z переменной x по переменной y:

ΔyZ = f(x, y+Δy)-f(x,y)

Полное приращение функции Z:

ΔZ = f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)

ΔZ #ΔxZ+ΔyZ

При вычислении частной производной по какой-либо переменной все остальные переменные остаются неизменными.

Вторые смешанные частные производные одной и той же функции отличаются лишь порядком дифференцирования равны между собой при условии их непрерывности.

частная производная функции

18. Полное приращение и полный дифференциал. Градиент функции нескольких переменных. Дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению.

Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).Таким образом, .

Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда вектор  называется градиентом функции z=f(x,у).
     Он обладает следующими свойствами:
     
     
    

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

 Df(х0,у0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу+a(Dx;Dу) Dx+b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0): df(x0,y0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу.  (2)

Производная по направлению

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

19. Дифференцируемость сложных функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных.