шпора матан 2

16. Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опеределяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия на плоскости Oxy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

20. Экстремум функций нескольких переменных ( абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума.

Определение. Условным экстремумом функции z  = f (х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии,  что переменные х и у связаны уравнением (х, у) = 0 (уравнением связи).

Определение 7.4   Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .

Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Определение 3. Наименьшее (наибольшее) значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции в этой области.

необходимое условие   Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то

24. Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла

Пусть на отрезке

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции

В этом случае, сама функция

Геометрический смысл

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми

Верхним интегралом Дарбу называют число

,

где

Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:

,

где  — нижняя сумма Дарбу.

Свойства:

1.  Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

28. Признаки Даламбера и Коши сходимости числового ряда.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:


а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при

.
б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .


в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:


а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при .


б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .


в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

17. Частные приращения и частные производные. Частные производные второго и высших порядков.

Частное приращение функции Z переменной y по переменной x:

ΔxZ = f(x+Δx, y)-f(x,y)

Частное приращение функции Z переменной x по переменной y:

ΔyZ = f(x, y+Δy)-f(x,y)

Полное приращение функции Z:

ΔZ = f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)

ΔZ #ΔxZ+ΔyZ

При вычислении частной производной по какой-либо переменной все остальные переменные остаются неизменными.

Вторые смешанные частные производные одной и той же функции отличаются лишь порядком дифференцирования равны между собой при условии их непрерывности.

частная производная функции

Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:

Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство

Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (2³):

итд

21. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).

Теорема: Если F₁(x) и F₂(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'₁(x)=F'₂(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F₁(x) - F₂(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F₁(x) и F₂(x). Для любых х₁, x₂, (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х₁)-Ф(х₂)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. с (a,b), следовательно Ф(х₁)=Ф(х₂). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F₁(x) - F₂(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

3.  Если , то, по определению, полагаем

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5.  Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6.  Если функция  интегрируема на  и , то

.

Еслифункци непрерывна на отрезке  и  – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:, (

которая называется формулой Ньютона–Лейбница.

Теорема 3. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция  и ее производная  непрерывны при ; 2) множеством значений функции  при  является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле

Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

.

29.Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда  – это ЧИСЛА

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

Степенной ряд – это ряд, в общий член  которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где  – это старая знакомая «начинка» числовых рядов

1. Признак Д’Аламбера: Если при

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности

2. Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при

Свойство 1. Функция  является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция  дифференцируема на интервале , и ее производная  может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

для всех .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции  для всех  может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.для всех .

18. Полное приращение и полный дифференциал. Градиент функции нескольких переменных. Дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению.

Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).Таким образом, .

Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда вектор  называется градиентом функции z=f(x,у).
     Он обладает следующими свойствами:
     
     
    

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

 Df(х0,у0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу+a(Dx;Dу) Dx+b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0): df(x0,y0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу.  (2)

Производная по направлению

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

22. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы.

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций.

1.∫xαdx=α+1xα+1+C,α/=−1 



в частности при

α=1:∫xαdx=2x2 



2.∫xdx=ln|x|+C 



3.∫dx1+x2=arctg(x)+C 



4.∫dx√1−x2=arcsin(x)+C 



5. ∫axdx=axln(a)+c



6.∫exdx=ex+C 



7.∫sin(x)dx=−cos(x)+C 



8.∫cos(x)dx=sin(x)+C 



9. ∫dxcos2(x)=tg(x)+C



10.∫dxsin2(x)=−ctg(x)+C 



11. ∫dxx2−a2=12aln|x+a||x−a|+C



12. ∫dx√x2+k=ln


13.∫dxx2+a2=a1arctg(xa)+C 



14.dx√a2−x2=arcsin(xa)+C 

26. Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда.

Числовым рядом называется выражение вида

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,  - общим членом ряда.

Необходимое условие сходимости ряда: Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Доказ: По условию последовательность , а следовательно, и её остаток имеют общий конечный предел , но и поэтому , что равносильно бесконечной малости

. войства сходящихся рядов.1.Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о предельном переходе в равенстве .

2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов . Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.

4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).

5. Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n;

2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

25.Несобственные интегралы перого и второго рода. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Определение 1.   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.  

Определение 4. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл значение которого равняется левостороннему пределу

Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла первого рода

   Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы любого как угодно малого числа ε > 0 существует такое число А₀ > a, чтобы при любых А > A₀ и А' > А₀ выполнялось неравенство

.

Теорема 3. Если сходится интеграл , то интеграл подавно сходится.

Теорема 4. Если функция f(x) абсолютно интегрируема в промежутке [а, +∞), а функция g( x) ограничена, то произведение их f(x)· g(x) будет функцией абсолютно интегрируемой в промежутке [а, +∞).

19. Дифференцируемость сложных функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производ ных.

Пусть выполнены условия:

3. функции определены в некоторой окрестности точки .

4. непрерывны в точке .

Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

23. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование; замена переменно в неопределенном интеграле и интегрирование по частям; интегрирование рациональной дроби.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где

Интегрирование рациональных дробей заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где

27. Признаки сходимости для знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда:Если ряд  сходится, то .

Если , и  ряд  сходится, то сходится и  ряд .

Если и  ряд  расходится, то расходится и  ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:

Если заданы ряды ,  и существует   , то ряды  и  сходятся либо расходятся одновременно.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.