Определение предела функции в точке.
Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точке а, кроме, быть может, самой этой точки а. В точке а функция может быть и неопределенна.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x→а. Если для любого положительного числа ε, найдется такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε.
f(x)→A, при х→а.
y f(x)
A +
A
A -
0 a-δ a a+δ x
Геометрическая интерпретация.
Возьмем ε – окрестность точки А, интервал (A-ε; А+ε) отложим на оси OY, и будем рассматривать все значения х из окрестности точки а, для которых соответствующие значения функции не выходят из E – окрестности точки А.
Из определения следует, что для любого ε>0, существует δ>0, такое, что для всех точек симметрического относительно а интервала (a-δ;а+δ) х≠а, значение функции не выходит из ε – окрестности точки А.
δ, зависит от ε, δ=δ(ε), чем больше ε, тем δ, вообще говоря, больше.
Определение.
Число А называется пределом функции
f(x)
при х→а,
если для любой последовательности
значений аргумента
,
сходятся ка,
,
соответствующая последовательноcть
значений функции
сходится к числуА.
Последовательность
принадлежит области определения функции.
Заметим, что если число А является пределом функции f(x) при х→а, то говорят, что f(x) при х→а имеет конечный предел.
Пример: Функция
,
при х→0, не имеет предела.
Возьмем последовательность
Функция
при х→0 не имеет предела, т.к. по двум
различным последовательностям значениях,
сходящихся к 0, получаем различные
пределы последовательностей значений
функции.
Односторонние пределы функции.
Введем понятие левой и правой окрестности точка а.
Определение.
Число А является правым пределом функции
f(x)
при х→а,
если для
,
найдется число δ>0, такое, что для всехх,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Определение. Число А является левым пределом Функции f(x) при х→а, если для всех х, удовлетворяющих условию 0<a-x<δ, выполняется неравенство
у
f(x)
А2
А1
0 a x
Если а=0, то обозначают пределы слева и права соответственно через f(+0); f(-0).
Теорема
Функция
y=f(x)
при х→а имеет конечный предел А;
,
тогда и только тогда, когда существует
равные односторонние пределы.
Предел функции при стремлении аргумента к ∞.
Определение.
Число А называется пределом функции
f(x)
при х→∞,
если для любого ξ>0 найдется такое
число, М>0, что для всех значений х,
,
выполняется неравенство
.
Предполагается, что функция f(x) определена в окрестности ∞.
Если
,
то график функцииf(x)
асимптотически приближается к прямой
у=А
при стремлении х→∞, как по положительным,
так и по отрицательным значениям.
Графически можно представить:
y y
A A
0 0
x x
y y
A A
0 0
x x
Аналогично
определяется:
.
Определение. Число А является пределом функции f(x) при х→+∞, если
выполняется
условие
.
Определение.
Число А является пределом функции y=f(x)
при всех х→-∞, если для
такое
что, для всех х,x<M,
выполняется условие
.