Определение комплексного числа.

Комплексным числом z называют символ x+yi, где х и у— действительные числа. При этом х называется действительной частью комплексного числа, у — мнимой частью, i — мнимой единицей.

Действительная часть комплексного числа обозначается ReZ (ReZ=x), а мнимая часть обозначается символом ImZ (ImZ=y). Следовательно, комплексное число можно записать .

Запись комплексного числа называется алгебраической формой записи.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числоми обозначается.

Комплексные числа иназываютсяравными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

. (1)

Если у = 0, то комплексное число имеет вид . Будем его сокращенно записыватьz=x и называть действительным числом. Если x=0 и y=0, то комплексное число z=0+i0 сокращенно записывается в виде z=0 и называется нулем.

Если х=0, у≠0, то комплексное число имеет вид z=0+yi или, короче, z = yi. Его называют мнимым числом. В частности, если х=0, y=1, получаем комплексное число

0+1i=i — мнимую единицу. Всякое число z = x+yi, где y≠0, называют мнимым числом.

Два комплексных числа x+yi и x-yi — называются комплексно-сопряженными. Если z=x+yi, то сопряженное число x-yi — принято обозначать .

Операции над комплексными числами.

Суммой комплексных чисел называют комплексное число Его обозначают . Таким образом,

(2)

При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части.

Комплексное число называется разностью двух комплексных чисел, если. Разность комплексных чисел обозначается .

Из определения следует, что

. (3)

При вычитании из действительной и мнимой части уменьшаемого соответственно вычитается действительная и мнимая часть вычитаемого.

Умножение двух комплексных чисел вводится равенством

. (4)

Равенство (4) следует, из

(5)

Действительно,

Если при умножении двух комплексных чисел получится некоторое число, то при умножении сопряженных им чисел получится число сопряженное, т. е..

Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным от деления числа называют число, такое, что, т. е.

. (6)

Отсюда, на основании равенства (4), получаем:

(7)

Решая систему (7) относительно находим:

(8)

(где , так как по условию).

Таким образом,

(9)

Нетрудно заметить, что равенство (9) может быть получено путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю.

Возведение комплексного числа z в натуральную степень п рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:

Комплексные числа можно рассматривать как расширение множества действительных чисел. В самом деле, алгебраические операции над комплексными числами введены так, что совокупность всех «действительных» комплексных чисел (т. е. чисел вида или, короче,

z = x с указанными операциями над ними совпадает с совокупностью действительных чисел и известными действиями над этими числами.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Выберем на плоскости XOY полярную систему координат (рис. 1) так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось пошла бы по положительному направлению действительной оси. Обозначим полярный радиус точки через ρ, а полярный угол через φ. Полярный радиус ρ называется модулем комплексного числа и обозначается . Полярный угол φ называется аргументом комплексного числа и обозначается arg z, если берется главное значение угла , иArgz, если берется общее значение угла. Таким образом,

,

где k — произвольное целое число, а φ — любое из значений аргумента z. Так как , а, то

(*)

Выражение (*) называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Очевидно, что

Например,

Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел. Пусть плоскости комплексной переменной даются два числа (рис. 2).

Рис. 2.

Проведя радиусы-векторы точек получим два вектора, которые соответствуют комплексным числам. При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части, а при сложении векторов складываются соответствующие координаты. Это позволяет сложение комплексных чисел представлять в виде сложения векторов. Вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах и представляет комплексное число: .